วัตถุหนึ่งเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายตามแนวแกน x มีคาบการเคลื่อนที่เป็น 6 วินาที

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

บปลายหนึ่งของสปริงโดยที่อีกปลายหนึ่งของสปริงผูกติดกับผนัง วัตถุจะอยู่นิ่งๆ บนพื้นในตำแหน่งสมดุล เมื่อดึงวัตถุออกจากตำแหน่งสมดุลแล้วปล่อยให้วัตถุเคลื่อนที่บนพื้นราบ วัตถุจะเคลื่อนที่กลับไปกลับมาผ่านตำแหน่งสมดุลและซ้ำเส้นทางเดิมการเคลื่อนที่ในลักษณะนี้มีจำนวนมาก เช่น  การสั่นของสายไวโอลินเมื่อถูกสี การสั่นของกลองเมื่อถูกตี  การเคลื่อนที่ของวัตถุที่ติดปลายลวดสปริง การเคลื่อนที่ของโมเลกุลอากาศเมื่อเคลื่อนเสียงส่งผ่าน  การเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนในสายอากาศของเครื่องส่งวิทยุ เป็นต้น ปริมาณที่สำคัญอย่างหนึ่งของการเคลื่อนที่ในลักษณะนี้ คือ ความถี่ ซึ่งหมายถึงจำนวนรอบของการเคลื่อนที่ใน 1 วินาที แทนสัญลักษณ์ f มีหน่วยเป็นเฮิรตซ์ (Hz) ซึ่ง 1 Hz =  

                          
                       ความถี่จะเป็นส่วนกลับกับคาบ ดังสมการ คาบคือ เวลาในการเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ ใช้สัญลักษณ์  T  แทนคาบ คาบมีหน่วยเป็นวินาที (s) 

                        การเคลื่อนที่ใดๆ ซึ่งเคลื่อนที่กลับไปมาซ้ำทางเดิม โดยผ่านตำแหน่งสมดุลและคาบของการเคลื่อนที่คงตัว ดังแสดงด้วยกราฟของการเคลื่อนที่ในแนวแกน x ดังรูป เรียกว่า การเคลื่อนที่แบบพีริออดิก(periodic motion)

                            การเคลื่อนที่แบบพีริออดิกชนิดหนึ่งที่กราฟของการกระจัดกับเวลาอยู่ในรูปของฟังก์ชันไซน์หรือโคไซน์ความถี่คงที่มีค่าที่แน่นอนค่าเดียว เรียกว่า  การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย  (simple harmonic motion) นั่นคือ การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายเป็นการเคลื่อนที่แบบพีริออดิกอย่างหนึ่ง อาจจะเรียกย่อๆ ว่า  การเคลื่อนที่แบบ  SHM  การกระจัดทาง  x  ในรูปฟังก์ชันของเวลา  t  ของ SHM โดยทั่วไปเขียนเป็นสมการได้เป็น    

                ซึ่ง

จากสมการ เมื่อเขียนกราฟระหว่างการกระจัดกับเวลา โดยมี 

                สรุปได้ว่า  สำหรับ การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย  คือการเคลื่อนที่ซึ่งมีการกระจัดเป็นฟังก์ชันของเวลาเป็นฟังก์ชันรูปไซน์การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายเทียบกับการเคลื่อนที่เป็นวงกลม
               ถ้านำดินน้ำมันก้อนโตพอเหมาะติดไว้ที่ขอบวงล้อกลมหรือแผ่นไม้วงกลมซึ่งหมุนได้คล่องในแนวระดับ เมื่อหมุนวงล้อให้อัตราเร็วเชิงมุมสม่ำเสมอ  ดินน้ำมันจะเคลื่อนที่ในแนววงกลมด้วยอัตราเร็วสม่ำเสมอด้วย  เมื่อฉายลำแสงขนานในแนวระดับไปที่ดินน้ำมัน เงาของดินน้ำมันจะปรากฏบนฉากข้างหลัง โดยการเคลื่อนที่ของเงาจะกลับไปกลับมาในแนวตรงเป็นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

                    เงาบนฉากของวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นวงกลม ก็เหมือนกบการคิดองค์ประกอบทาง x  ของการเคลื่อนที่ของจุดๆ หนึ่งเป็นวงกลมบนระนาบ xy  ให้ที่ขณะหนึ่งจุดนั้นอยู่ที่ตำแหน่งมุม  

และองค์ประกอบของความเร็วบนแกน  x  คือ                                              

จุด P เคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอบนระนาบ xy

              จากความเร่งในทิศเข้าหาจุดศูนย์กลางมีขนาดเท่ากับ  

จะได้องค์ประกอบของความเร่งบนแกน  x  คือ

            จะเห็นว่าตำแหน่งทาง  x  ในสมการ เป็นอย่างเดียวกับสมการเมื่อ  

ซึ่งเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย  และเมื่อนำมาใช้ในสมการ จะทำให้ได้ว่า

            แสดงลักษณะสำคัญประการหนึ่งของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย นั่นคือ การมีความเร่งเป็นปฎิภาคกับการกระจัดแต่มีทิศตรงกันข้าม เนื่องจาก  

            สำหรับการเคลื่อนที่ของดินน้ำมันไปตามแนววงกลม เมื่อเคลื่อนที่ครบ 1 รอบใช้เวลาที่เรียกว่าหนึ่งคาบ (period) หรือ T หนึ่งรอบหมายถึงดินน้ำมันจะเคลื่อนที่ไป 

 เรเดียน ดังนั้นอัตราเร็วเชิงมุม 

ของการเคลื่อนที่เป็นวงกลมจึงมีค่าเท่ากับ 

 ส่วนเงาของดินน้ำมันที่เคลื่อนที่กลับไปกลับมารอบตำแหน่งสมดุลจะมีความถี่ของการเคลื่อนที่เป็น  

มีหน่วยเป็นรอบต่อวินาทีหรือเฮิรตซ์ (hertz, Hz)  ความถี่เชิงมุม (

)  ของการเคลื่อนที่แบบ SHM  มีค่าเป็น

   ซึ่งมีค่าเหมือนกับอัตราเร็วเชิงมุม  

และมีหน่วยเป็นเรเดียนต่อวินาทีเช่นเดียวกัน

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายของรถติดสปริง 

                    เมื่อดึงรถทดลองให้สปริงยึดและรถออกจากตำแหน่งสมดุลเป็นระยะ A จะได้การกระจัดของรถทดลองมีค่า  A และมีแรง  

ซึ่งแสดงว่าขนาดและแรงดึงกลับแปรผันตรงกับระระยืดหรือหดของสปริงหรือขนาดการกระจัด  แต่แรงดึงกลับ  

  โดย k เป็นค่าคงตัวของสปริง

                    เมื่อปล่อยมือ แรง  

                    จากนั้นรถทดลองจะเคลื่อนที่ออกจากตำแหน่งสมดุลไปทางซ้ายต่อไปอีก และอัดลวดสปริงให้หดสั้น ลวดสปริงก็จะออกแรง 

กราฟของการกระจัดของเวลาสำหรับหนึ่งรอบของการเคลื่อนที่

             เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ของรถทดลองติดปลายสปริงที่เคลื่อนที่ แรงที่สปริงกระทำต่อรถทดลองจะมีค่าเป็น  F  =  - kx   ถ้าให้  m  เป็นมวลของรถทดลอง และ a  เป็นความเร่งของรถทดลอง จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ของนิวตัน

                            นั่นคือ  การเคลื่อนที่ของรถทดลองติดสปริงเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่าง่ายเช่นเดียวกับการเคลื่อนที่ของเงาของดินน้ำมัน มีความเร่งแปรผันตรงกับการกระจัด แต่มีทิศตรงกับข้าม เทียบสมการ จะเห็นว่า ความเร่งคือ

                            ความถี่เชิงมุมของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย มีความสัมพันธ์กับค่าคงตัวของสปริง และมวลของวัตถุที่ติดกับสปริง ดังสมการ

การแกว่งของลูกตุ้มอย่างง่าย
                  ลูกตุ้มอย่างง่ายคือ ลูกตุ้มที่ประกอบด้วยมวลขนาดเล็ก ตามอุดมคติเป็นจุด แขวนที่ปลายด้ายหรือเชือกอ่อน โดยธรรมชาติวัตถุแขวนห้อยในแนวดิ่งเป็นตำแหน่งสมดุล เมื่อดึงวัตถุให้เอียงทำมุมเล็กๆ กับแนวดิ่งแล้วปล่อยให้วัตถุเคลื่อนที่แกว่งกลับไปมา ซึ่งจะพิสูจน์ได้ว่าเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

ขณะเส้นเชือกเอียงทำมุมกับแนวดิ่งมีแรงกระทำเข้าหาจุดสมดุล

                         ขณะที่ปล่อยลูกตุ้มมวล m ซึ่งผูกกับเส้นเชือกยาว 

ซึ่งทำมุม 

 

                         เนื่องจากแรง  mg  สามารถคิดแยกออกเป็น  2  แรงในแนวตั้งฉากกัน ดังรูป จะเห็นว่าแรง

                    ถ้ามุม 

                     จะเห็นว่า ความเร่งของลูกตุ้มแปรผันตรงกับการกระจัด และมีทิศตรงกันข้ามการแกว่งของลูกตุ้มจึงเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายด้วย

                         อาจนับว่าเป็นสมการที่ทำนายคาบของลูกตุ้มอย่างง่ายจากที่ได้วิเคราะห์มาตามหลักการของการเคลื่อนที่ที่ต้องเป็นไปตามกฎของนิวตัน  คาบของการแกว่งจริงจะเป็นอย่างไร จะศึกษาจากการทดลองดังภาคการทดลองต่อไป