โดเมน และ เรนจ์ ของความสัมพันธ์
โดเมน ( Domain) และ เรนจ์ ( Range ) ของความสัมพันธ์
โดเมน ของความสัมพันธ์ ได้แก่ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับ ทั้งหมด
ในความสัมพันธ์นั้น กล่าวคือ พิกัด x ทั้งหมดที่ยอมรับได้ เขียนแทนด้วย
เรนจ์ ของความสัมพันธ์ ได้แก่ สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับทั้งหมด
ของความสัมพันธ์นั้น กล่าวตือพิกัด y ทั้งหมดที่ยอมรับได้
เขียนแทนด้วย
อ่านแล้ว ถ้าพูดเป็นภาษาที่เข้าใจ ง่าย ๆ เราอาจจะกล่าวได้ว่า
เมื่อ เรามีความสัมพันธ์ของคู่อันดับ ( x, y )
โดเมน คือ ความสัมพันธ์ ตัวแรกทั้งหมด และ
เรนจ์ คือ ความสัมพันธ์ ตัวหลังทั้งหมด
ตัวอย่าง โดเมน และ เรนจ์
ตัวอย่างที่ 1
จงหาโดเมน และ เรนจ์ ของความสัมพันธ์
วิธีทำ จากนิยาม ความสัมพันธ์ของคู่อันดับ ( x, y )
โดเมน คือ ความสัมพันธ์ ตัวแรกทั้งหมด
ตัวอย่างที่ 2
วิธีทำ
อธิบาย จากโจทย์ เราทราบว่า คู่อันดับ x และ y
เกิดจากจำนวนนับ คูณจำนวนนับ
ดังนั้น เมื่อเราต้องการทราบค่า ของ โดเมน
เราดูสมการ ในรูป ของ y จะได้
y = 3x + 4
สังเกตุ เมื่อเราแทนค่า x ด้วย จำนวน นับ เช่น 1,2,3,4,.... เราจะได้
ค่าของ y ที่ได้ จะมีค่าเป็นจำนวนนับด้วย เช่น
x = 1 แทนค่า y = ( 3 x 1) + 4 = 7
x = 2 แทนค่า y = ( 3 x 2 )+ 4 = 10
x = 3 แทนค่า y = ( 3 x 3 )+ 4 = 13
.. .........
สรุป ได้ว่า เมื่อเราแทนค่าของ x เป็นจำนวนนับได้ค่า y เป็นจำนวนนับ
โดเมน เป็น จำนวนนับ (I)
เรนจ์ เป็น จำนวนนับ (I)
ตัวอย่างที่ 3
กำหนดให้
อธิบาย จากโจทย์
เรามามองให้ออกก่อนดีไหม ว่า
" ค่าที่มีอยู่ในรากนั้นจะเป็นค่าที่ถอดรากออกมาได้นั้นต้องมีค่ามากกว่าศูนย์ จริงไหม "
ดังนั้นเรามาดูค่าที่อยู่ในราก ต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์
เราจะได้ โดเมน
" เมื่อเราแทนค่า x ในสมการ ค่า y ที่ได้ ก็จะเป็นค่าที่ได้
จากการถอดราก ค่าที่ได้ มากกว่าศูนย์เสมอ "
ดังนั้น เรนจ์
ตัวอย่างที่ 4 กำหนดให้
อธิบาย จากโจทย์ เรามาดูค่าที่อยู่ในราก ต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์
ดังนั้น เราจะได้ว่า
ตัวอย่างที่ 5 กำหนดให้
เราแก้อสมการ จะได้
กรณีเป็นสมการ
พิจารณา
x+ 2 = 0 ได้ x = -2 และ
x- 2 = 0 ได้ x = 2
นำมาวาดรูปตามวิธีแก้อสมการ
ดังนั้น เราเลือกค่าของอสมการที่มีค่า เป็นบวกคือมากกว่าศูนย์จะได้
x+ 5 = 0 ได้ x = -5 และ
x- 5 = 0 ได้ x = 5
ดังนั้น เราเลือกค่าของอสมการที่มีค่า เป็นลบคือน้อยกว่าศูนย์จะได้
" เมื่อเราได้โดเมนเป็นช่วง [- 5, 5 ] จะเห็นได้ว่า
ถ้า x = 0 แทนค่าในสมการ ค่า y ที่ได้ y = 5
เป็นค่าสูงที่สุดของเรนจ์
ดังนั้น เรนจ์ ก็จะเป็นค่าอยู่ในช่วง มากกว่าศูนย์ และ น้อยกว่าหรือเท่ากับ ห้า
กรณีความสัมพันธ์อยู่ในรูปเศษส่วน
เราจะกล่าวในเทอมทั่วไป เมื่อ a,b เป็นจำนวนเต็ม เมื่อ
1.
เมื่อเราดูที่สมการ
เรามองในภาพรวม คือเศษส่วนตัวหนึ่ง ดังนั้นเรารู้ได้ทันทีว่า
ตัวส่วน bx + c ต้องไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น เราจะหาโดเมน จาก
การหาเรนจ์ เราสามารถหาได้โดยเขียนสมการให้อยู่ในรูปของ x
จาก
เราจะเห็นได้ว่า ค่าของ y ที่เกิดจากสมการ จะหาค่าได้
ค่าของ y ต้องไม่เท่ากับศูนย์
2.
ดังนั้น เราจะได้ สมการในรูปของตัวแปร x เมื่อเราดูที่สมการ
อยู่ในรูปเศษส่วนดังนั้น ตัวส่วน ต้องไม่เท่ากับศูนย์ เราจะได้
เราสรุปได้ว่า
