2. กำหนดตัวแปร หลักการกำหนดตัวแปร คือ โจทย์ถามหาอะไรก็ให้ตัวนั้นเป็นตัวแปร เช่น โจทย์ถามว่าความยาวของด้านสี่เหลี่ยมรูปนี้ยาวเท่าไร หลักการกำหนดตัวแปรคือ ให้สี่เหลี่ยมรูปนี้มีความยาว x หน่วย 3.หลักการที่สามสำคัญมากเป็นการสร้างตัวแบบสมการขึ้นมา จากเงื่อนไขที่โจทย์กำหนดมาให้ 4.แก้สมการจากข้อที่ 3 ที่เราขึ้นมาครับ 5.ตรวจสอบคำตอบ ดูความสมเหตุสมผลของคำตอบ มาเริ่มทำแบบฝึกหัดกันเลยครับ เฉลยให้ดูเป็นบ้างข้อน่ะ เป็น guide line ให้เดินตาม พยายามทำเองน่ะ ไม่ยากจำหลักให้ได้ก็สบายแล้ว แบบฝึกหัด 1.รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญ่รูปหนึ่งมีพื้นที่ 441 ตารางเซนติเมตร จงหาว่ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปเล็กที่มีความยาวของด้านน้อยกว่ารูปใหญ่ด้านละ 3 เซนติเมตร จะมีพื้นที่กี่ตารางเซนติเมตร วิธีทำ วิเคราะห์โจทย์ จากโจทย์ให้หาพื้นของสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปเล็ก แต่ก่อนจะหาพื้นที่รูปเล็กได้ต้องหาความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญ่ให้ได้ก่อน ในการที่เราจะหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสได้เราต้องรู้ความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังนั้นจะกำหนดตัวแปรดังนี้ ให้สี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญ่มีความยาวด้านยาว \(x \)เซนติเมตร สร้างตัวแบบสมการจากเงื่อนไขของโจทย์ จากโจทย์บอกว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญ่มีพื้นที่ \(441 \)ตารางเซนติเมตร พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสหาได้จาก ด้าน \(\times \)ด้าน จะได้ \(x\times x = 441 \) \(x^{2}=441\) \(\sqrt{x^{2}}=\sqrt{441}\) \(x=21\) ดังนั้นจะได้ว่ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญ่มีด้านยาวด้านละ \(21\)เซนติเมตร แต่ยังไม่ใช่คำตอบน่ะครับ โจทย์ให้หาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปเล็ก โดยความยาวด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญ่มีความสัมพันธ์กับความยาวด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปเล็ก คือ สี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปเล็กมีความยาวด้านยาวน้อยกว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญ่ด้านละ 3 เซนติเมตร ดังนั้น จะได้ว่า สี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปเล็กมีด้านยาว ยาวด้านละ\(21-3=18\) นั้นคือสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปเล็กมีด้านยาวด้านละ \(18\)เซนติเมตร ดังนั้น สี่เหลี่ยมรูปเล็กมีพื้นที่ \(18 \times 18= 324\)ตารางเซนติเมตร 2. รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีด้านยาว ยาวกว่าด้านกว้าง 3 เซนติเมตร และมีพื้นที่เป็น 40 ตารางเซนติเมตร จงหาความกว้างของรูปสี่เหลี่ยม วิธีทำ โจทย์ถามหาความกว้างของรูปสี่เหลี่ยม ดังนั้นเราก็กำหนดตัวแปรว่า ให้สี่เหลี่ยมมีความกว้าง \(x\)เซนติเมตร จากเงื่อนไข โจทย์บอกว่ามีด้านยาว ยาวกว่าด้านกว้าง \(3\)เซนติเมตร ดังนั้น รูปสี่เหลี่ยมรูปนี้มีด้านยาว ยาว \(x+3\)เซนติเมตร และมีพื้นที่ \(40\)ตารางเซนติเมตร นั้นคือ กว้าง \(\times \)ยาว \(=40\) \begin{array}{lcl}x(x+3)&=&40\\x^{2}+3x&=&40\\x^{2}+3x-40&=&0\\(x+8)(x-5)&=&0\end{array} ดังนั้น \(x=-8\) หรือ \(x=5\) \(x=-8\) ใช้ไม่ได้น่ะครับ เพราะความยาวติดลบไม่ได้ ดังนั้น ความกว้างของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากคือ \(5\)เซนติเมตรครับ 3. รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีความสูงเป็นครึ่งหนึ่งของความยาวของด้าน ถ้าความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมเท่ากับพื้นที่พอดี จงหาความยาวของด้านของรูปสี่เหลี่ยมรูปนี้ วิธีทำ กำหนดตัวแปรคับ โจทย์ให้หาความยาวของด้านสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เราก็กำหนดตัวแปร ให้สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีความยาวด้าน\(x \)หน่วย ดูเงื่อนไขของโจทย์ โจทย์บอกว่า สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีความสูงเป็นครึ่งหนึ่งของความยาวของด้าน เราให้สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีความยาวด้านละ \(x \)หน่วย ดังนั้น สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนี้มีความสูงเป็น \(\frac{x}{2}\) หน่วย และมีเงื่อนไขต่ออีกว่า ความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมเท่ากับพื้นที่ของรูปพอดี คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน คือ มีความยาวของด้านทั้งสี่ด้านเท่ากันหมด เราให้ด้านของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนยาว \(x\) หน่วย คือแต่ละด้านยาว \(x\) หน่วย มี 4 ด้านดังนั้น ทั้งสี่ด้านยาวรวมกัน เท่ากับ \(x+x+x+x=4x\) นั้นคือสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีความยาวรอบรูปเป็น \(4x\) หน่วย พื้นที่ ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหาได้จาก ความยาวฐาน \(\times \)สูง นั้นคือ \(x\times \frac{x}{2}\) เงื่อนไขบอกว่า ความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมเท่ากับพื้นที่ของรูปพอดี จะได้ว่า \begin{array}{lcl}4x&=&x \frac{x}{2}\\4x&=&\frac{x^{2}}{2}\\8x&=&x^{2}\\x^{2}-8x&=&0\\x(x-8)&=&0\end{array} นั่นคือ \(x=0\) หรือ \(x=8\) \(x=0\)ใช้ไม่ได้ เพราะความยาวสี่เหลี่ยมเป็น ศูนย์ไม่ได้ ดังนั้นสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีด้านยาวยาวด้านละ \(8\)หน่วย 4. ให้ผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวนที่เรียงติดกันเท่ากับ \(420\) จงหาจำนวนทั้งสองจำนวนนั้น วิธีทำ ข้อนี้ง่ายมากๆครับ ให้เราสังเกตจำนวนเต็มสองจำนวนติดกัน เช่น 12 กับ 13 จะเห็นว่า 13 คือ 12+1 คือเพิ่มขึ้นมา 1 นั่นเองครับ ดังนั้นเราสมมติตัวแปรกันเลย กำหนดให้จำนวนเต็มตัวแรกคือ \(x\) จึงได้ว่าจำนวนเต็มที่ติดกับตัวแรกคือ \(x+1\) ผลคูณสองจำนวนนี้เท่ากับ \(420\) จึงได้สมการ \(x(x+1)=420\) แกสมการหาสองจำนวนนี้เลยครับจะได้ว่า \begin{array}{lcl}x(x+1)&=&420\\x^{2}+x-420&=&0\\(x+21)(x-20)&=&0\end{array} ดังนั้นจะได้ \(x+21=0\) หรือ \(x-20=0\) กรณี \(x+21=0\) จะได้ \(x=-21\) กรณี \(x-20=0\) จะได้ \(x=20\) ดังนั้น ถ้า \(x=20\) จะได้ว่า \(x+1=20+1=21\) คำตอบที่เราได้คือ 20 กับ 21 จะเห็นว่า \(20\times 21=420\) ถ้า \(x=-21\) จะได้ว่า \(x+1=-21+1=-20\) คำตอบที่เราได้คือ -21 กับ -20 จะเห็นว่า \(-21\times -20=420\) คำตอบทั้งหมดคือ จำนวนเต็มสองจำนวนนั้น 20 กับ 21 หรือ -20 กับ -21 5. ให้ผลคูณของจำนวนคี่บวกจำนวนหนึ่งกับจำนวนคี่บวกอีกจำนวนหนึ่งที่อยู่ถัดไปเป็น 323 จงหาจำนวนคี่ทั้งสองจำนวนนั้น วิธีทำ ทำเหมือนกันกับข้อข้างบน สมมติเราจำนวนคี่บวกตัวแรกคือ 5 ต้องบวกเพิ่มอีก 2 จึงจะได้จำนวนคี่บวกตัวที่สองก็คือ 7 ดังเราสามารถสมมติตัวแปรได้ดังนี้ กำหนดให้จำนวนคี่บวกตัวแรกคือ \(x\) จำนวนคี่บวกตัวที่สองที่อยู่ถัดไปคือ \(x+2\) จากโจทย์จะได้ว่า \(x(x+2)=323\) เริ่มแก้สมการจะได้ \begin{array}{lcl}x(x+2)=323\\x^{2}+2x-323&=&0\\(x+19)(x-17)&=&0\end{array} จะได้ \(x+19=0\rightarrow x=-19\) หรือ \(x-17=0\rightarrow x=17\) โจทย์บอกว่าจำนวนคี่บวก ดังนั้นใช้ได้ตัวเดียวคือ \(x=17\) อีกตัวต้องเป็น \(19\) ซึ่งจะเห็นว่า \(17\times 19=323\) 6. จำนวนสองจำนวนต่างกันอยู่ 3 และผลบวกของกำลังสองของจำนวนทั้งสองเป็น 117 จงหาจำนวนทั้งสองจำนวนนั้น วิธีทำ ให้จำนวนแรกคือ \(x\) สองจำนวนนี้ต่างกันอยู่ 3 ดังนั้นจึงได้ว่า จำนวนที่สองต้องเป็น \(x+3\) โจทย์บอกว่าผลบวกของกำลังสองของทั้งสองจำนวนนี้เป็น 117 จึงได้ว่า \(x^{2}+(x+3)^{2}=117\) เริ่มแก้สมการกันเลยคับ \begin{array}{lcl}x^{2}+(x+3)^{2}&=&117\\x^{2}+x^{2}+6x+9-117&=&0\\2x^{2}+6x-108&=&0\\x^{2}+3x-54&=&0\\(x-9)(x-6)&=&0\end{array} จะได้ \(x+9=0\rightarrow x=-9\) หรือ \(x-6)=0\rightarrow x=6\) ดังนั้น ถ้าตัวแรกเท่ากับ\(-9\) ตัวที่สองจะเท่ากับ \(-6\) เพราะจำนวนสองจำนวนนี้ต่างกันอยู่ 3 และผลบวกของกำลังสองของสองจำนวนนี้เท่ากับ 117 กล่าวคือ \((-9)^{2}+(-6)^{2}=117\) อีกอันคือ ถ้าตัวแรกเท่ากับ \(6\) ตัวที่สองจะเท่ากับ \(9\) เพราะจำนวนสองจำนวนนี้ต่างกันอยู่ 3 และผลบวกของกำลังสองของสองจำนวนนี้เท่ากับ 117 กล่าวคือ \(9^{2}+6^{2}=117\) |