ตัวอย่าง การ แปรผัน เกี่ยว เนื่อง

เป็นการแปรผันระหว่างตัวแปรตาม (y) และกลุ่มตัวแปรต้นที่มีจำนวนมากกว่า 1 ตัว สามารถเขียนในรูปสมการได้ว่า

y ∝ xz y = kxz โดย k คือค่าคงตัว

นักเรียนได้รู้จักความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณสองปริมาณ เช่น x และ y มาแล้วดังนี้ y แปรผันตรงกับ x เมื่อ y = kx โดยที่ k เป็นค่าคงตัวและ k ≠ 0 y แปรผกผันกับ x เมื่อ y = k × 1/x โดยที่ k เป็นค่าคงตัวและ k ≠ 0

การแปรผันตรงและการแปรผกผันข้างต้น ถ้า x แปรเปลี่ยนไป y จะเปลี่ยนตามไปด้วย กล่าวคือ y ขึ้นอยู่กับค่า x เพียงตัวเดียว

เรามักจะพบว่าในชีวิตประจำวัน การแปรเปลี่ยนของปริมารใดปริมาณหนึ่งขึ้นอยู่กับหลายปริมาณ เช่น ระยะทางที่เดินทางโดยรถยนต์ จะขึ้นอยู่กับอัตราเร็วเฉลี่ยขอรถยนต์และเวลาที่ใช้ในการเดินทาง ดังตัวอย่างข้อมูลในตารางต่อไปนี้

จากตารางจะพบแบบรูปที่สรุปเป็นความสัมพันธ์ได้ว่า ระยะทาง s ที่รถยนต์วิ่งได้เท่ากับ ผลคูณของอัตราเร็วเฉลี่ย v และเวลา t ที่ใช้ในการเดินทาง กล่าวคือ s = vt

ความสัมพันธ์ระหว่างระยะทางกับอัตราเร็วเฉลี่ยและเวลาดังกล่าว เป็นตัวอย่างหนึ่งของการแปรผันเกี่ยวเนื่อง

บทนิยาม ให้ y, x_1, x_2, ..., x_n แทนปริมาณใด ๆ y แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ x_1, x_2, ..., x_n เมื่อ y แปรผันตรงกับผลคูณของ x_1, x_2, ..., x_n นั่นคือ y แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ x_1, x_2, ..., x_n เมื่อ y = k(x_1)(x_2)...(x_n) โดยที่ k เป็นค่าคงตัว และ k ≠ 0

จากความสัมพันธ์ระหว่างระยะทางกับอัตราเร็วเฉลี่ยและเวลาที่ใช้ในการเดินทางโดยรถยนต์ ซึ่งแสดงด้วยสมการ s = vt ข้างต้น จะได้ว่า s แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ v และ t โดยมีสมการแสดงการแปรผันเป็น s = vt และมีค่าคงตัวของการแปรผันเป็น 1

โดยทั่วไป เมื่อปริมาณหนึ่งแปรผันเกี่ยวเนื่องกับปริมาณต่างๆ จะได้ว่า ปริมาณนั้นแปรผันตรงกับแต่ละปริมาณ เมื่อปริมาณอื่นๆที่เหลือเป็นค่าคงตัว เช่น

ถ้า y แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ x และ z จะได้ว่า y แปรผันตรงกับ x เมื่อ z เป็นค่าคงตัวและ y แปรผันตรงกับ z เมื่อ x เป็นค่าคงตัว เป็นต้น

เมื่อกล่าวว่า y แปรผันตรงกับ x และแปรผันกับ z มีความหมายเช่นเดียวกับ y แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ x และ 1/2 นั่นคือ y แปรผันตรงกับ x × 1/2 เช่น

ความสัมพันธ์ของระยะทาง กับอัตราเร็วเฉลี่ยและเวลาที่ใช้ในการเดินทาง ซึ่งมีสมการเป็น s = vt หรือ v = s/t

เป็นความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณสองปริมาณ เมื่อปริมาณหนึ่งเพิ่ม อีกปริมาณหนึ่งก็เพิ่มตามด้วย หรือเมื่อปริมาณหนึ่งลด อีกปริมาณหนึ่งก็ลดตามด้วย อย่างเป็นสัดส่วนกัน

บทนิยาม ให้ x และ y แทนปริมาณใด ๆ

1. y แปรผันตรงกับ x เมื่อ y = kx โดยที่ k เป็นค่าคงตัว และ k ≠ 0
   2. เราจะเรียก y = kx ว่า สมการแสดงการแปรผัน และเรียก k ว่าค่าคงตัวของการแปรผัน

2. การแปรผกผัน (Inverse variation)

เป็นความสัมพันธ์กันระหว่างปริมาณสองปริมาณ เมื่อปริมาณหนึ่งเพิ่มขึ้น อีกปริมาณหนึ่ง จะลดลงอย่างได้สัดส่วนกัน หรือเมื่อปริมาณหนึ่งลดลง อีกปริมาณหนึ่งก็จะเพิ่มขึ้นอย่างได้สัดส่วนกัน

การแปรผันเกี่ยวเนื่อง (joint variation) เป็นความสัมพันธ์สิ่งหนึ่งกับอีกหลายสิ่ง บางครั้งเรียก การแปรผันร่วม

บทนิยาม ให้.. .. แทนปริมาณใด ๆ .. ..แปรผันโดยตรงกับ.. ..คือ ..ความสัมพันธ์ที่เกิดนี้เรียกว่า .. ..แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ.. ..อสังเ

ข้อสังเกต การแปรผันเกี่ยวเนื่อง ไม่จำเป็นต้องเป็นการแปรผันตรงเท่านั้น อาจเป็นการแปรผกผันก็ได้ เช่น ……. ..แปรผันตรงกับ....และ....คือ.. ……. ..แปรผันตรงกับ....และแปรผกผันกับ....คือ.. …..หรือ....แปรผันตรงกับ....และ....แต่แปรผกผันกับ....คือ..

ตัวอย่างที่ 1 ถ้า แปรผันตาม และแปรผกผันกับ กำหนด เมื่อ และ จงหาค่า เมื่อ และ วิธีทำ…..กำหนดให้……⇒… ………. แทนค่า , และ ……….จะได้ ……⇒… ……….สมการแสดงการแปรผัน คือ … ……. แทนค่า… และ …จะได้…

ตัวอย่างที่ 2 ส่วนหนึ่งของ แปรผันแบบผกผันกับ และอีกส่วนหนึ่งแปรผันโดยตรงกับ โดยที่ เมื่อ และ เมื่อ ถ้า แล้ว มีค่าเท่าใด (สมาคม 42) วิธีทำ…..กำหนดให้ ……โดยที่……และ… ……. ดังนั้น…..………………….(1) ……. แทนค่า เมื่อ …ใน (1) ………………… ………….…………………………….(2) ……. แทนค่า เมื่อ …ใน (1) ………………… …………..……………………………(3) …….(2) + (3) ….. …..⇒…. …….แทนค่า……ลงใน (3) จะได้ … …… แทนค่า …..ลงใน (1)…จะได้ …………………. …………………………(4) ……แทนค่า ลงใน (4)…⇒…

ตัวอย่างที่ 3 ค่าใช้จ่ายในการจัดทำวารสารเล่มหนึ่งประกอบด้วยค่าใช้จ่ายส่วนหนึ่งคงที่ และอีกส่วนหนึ่งแปรผันโดยตรงกับจำนวนเล่มที่พิมพ์ ถ้าพิมพ์ 150 เล่ม จะเสียค่าใช้จ่าย 2,850 บาท และถ้าพิมพ์ 200 เล่ม จะเสียค่าใช้จ่ายทั้งหมด 3,000 บาท ถ้าต้องการพิมพ์ 300 เล่ม จะต้องขายเล่มละเท่าไร จึงจะได้กำไรเล่มละ 5 บาท (สมาคม 41) วิธีทำ…ให้ P เป็นค่าใช้จ่ายในการทำวารสาร,…..ฺB เป็นค่าใช้จ่ายส่วนคงที่ …………… C เป็นค่าใช้จ่ายส่วนที่แปรผันตามจำนวนเล่มที่พิมพ์,….. n เป็นจำนวนเล่มที่พิมพ์ …….กำหนดให้ ……โดยที่… ……….ดังนั้น…..…….………………………(1) …..แทนค่า เล่ม , บาท ใน (1) จะได้ …………….. …..…………………..(2) …..แทนค่า เล่ม , บาท ใน (1) จะได้ …………….. …..…………………..(3) …….(3) – (2) ….. …..⇒…. …..แทนค่า ใน (2) จะได้ …⇒… ….. จะได้ ….. …………………………(4) …..ถ้า เล่ม จะได้ … บาท ………ทุนเล่มละ ………บาท …….. ดังนั้น ต้องขายเล่มละ……บาท

ตัวอย่างที่ 4 ต้นทุนในการผลิตสินค้าแยกได้เป็นสองส่วน ส่วนหนึ่งคงตัว อีกส่วนหนึ่งแปรผันตามจำนวนสินค้าที่ผลิต ถ้าผลิต 100 ชิ้น จะต้องเสียค่าใช้จ่ยทั้งหมด 18,000 บาท และถ้าผลิต 150 ชิ้น จะเสียค่าใช้จ่ายทั้งหมด 19,500 บาท ถ้าต้องการผลิต 300 ชิ้น จะต้องขายชิ้นละเท่าใด จึงจะได้กำไรร้อยละ 50 ของต้นทุน (สมาคม 57) วิธีทำ…..ให้ P เป็นต้นทุนในการผลิตสินค้า,…..ฺA เป็นค่าใช้จ่ายส่วนคงที่ …………… B เป็นค่าใช้จ่ายส่วนที่แปรผันตามจำนวนสินค้าที่ผลิต,….. n เป็นจำนวนสินค้าที่ผลิตได้ …….กำหนดให้ ……โดยที่… ……….ดังนั้น…..…….………………………(1) …..แทนค่า ชิ้น , บาท ใน (1) จะได้ …………….. …..…………………..(2) …..แทนค่า ชิ้น , บาท ใน (1) จะได้ …………….. …..…………………..(3) …….(3) – (2) ….. …..⇒…. …..แทนค่า ใน (2) จะได้ …⇒… ….. จะได้ ….. …………………………(4) …..ถ้า ชิ้น จะได้ … บาท ………ทุนชิ้นละ ………บาท …….. ต้องการกำไรชิ้นละ 50% จะได้ บาท …….. ดังนั้น ต้องการสินค้าชิ้นละ จึงจะได้กำไร 50%

ตัวอย่างที่ 5 กัญญาเปิดร้านขายก๋วยเตี๋ยว โดยขายชามละ 30 บาท ในการขายแต่ละวันมีค่าใช้จ่ายสองส่วน ส่วนแรกคือค่าเช่าสถานที่ซึ่งไม่ขึ้นกับปริมาณก๋วยเตี๋ยวที่ขาย ส่วนที่สองเป็นต้นทุนวัตถุดิบซึ่งจะแปรผันตรงตามจำนวนก๋วยเตี๋ยวที่ขาย ถ้ากัญญาขายก๋วยเตี๋ยวได้ 50 ชาม จะมีค่าใช้จ่ายทั้งหมด 2,100 บาท และถ้ากัญญาขายก๋วยเตี๋ยวได้ 175 ชาม จะได้กำไร 900 บาท แล้วกัญญาจ่ายค่าเช่าสถานที่ต่อวันเป็นเงินเท่าไร (สมาคม 55) วิธีทำ…..ให้ Y เป็นค่าใช้จ่าย,..ฺA เป็นค่าเช่า, … B เป็นค่าวัตถุดิบ,….. n เป็นจำนวนชาม …….กำหนดให้ ……โดยที่… ……….ดังนั้น…..…….………………………(1) …..แทนค่า ชาม , บาท ใน (1) จะได้ …………….. …..…………………..(2) …..แทนค่า ชาม , บาท ใน (1) จะได้ …………….. …..…………………..(3) …….(3) – (2) ….. …..⇒…. …..แทนค่า ใน (2) จะได้ …⇒… บาท

ตัวอย่างที่ 6 ให้ เท่ากับผลบวกของสองจำนวนโดยจำนวนแรกแปรผันเกี่ยวเนื่องกับ และ และจำนวนที่สองแปรผันแบบผกผันกับรากที่สองของ ถ้า เมื่อ และ เมื่อ และ แล้วค่าของ เมื่อ และ มีค่าเท่าใด (สมาคม 54) วิธีทำ…..กำหนดให้ ……โดยที่……และ … …………. ………….…..…………..(1) ………….…..…………(2) …….แก้ระบบสมการได้… ……..จะได้สมการแปรผัน คือ ………แทนค่า……จะได้…

…….จากตัวอย่างที่นำเสนอข้างต้น อ่านแล้วเป็นอย่างไรบ้างครับ พอจะเห็นแนวทางวิธีการคำนวณเกี่ยวกับการแปรผันเกี่ยวเนื่องกันไหมเอ่ย ถ้ามีความคิดเห็นประการใดหรือสงสัย จะสอบถามเพิ่มเติม ลอง “ใส่ความเห็น” ในช่องด้านล่างดูครับ และอ่านในหนังสือเรียนเพิ่มเติมอีกนะครับ เพื่อให้มีความแม่นยำและเป็นการฝึกมือที่หลากหลายยิ่ง ๆ ขึ้นไป