ตัวอย่าง ระบบสมการกําลังสอง ทางคนิตศาส

บทความนี้ ร่วมเขียน โดย . เดวิด เจียเป็นติวเตอร์และผู้ก่อตั้ง LA Math Tutoring สถาบันกวดวิชาเอกชนซึ่งตั้งอยู่ในลอสแอนเจลิส รัฐแคลิฟอร์เนีย เดวิดสอนนักเรียนทุกวัยและทุกระดับชั้นในหลายวิชา ให้คำปรึกษาเรื่องการเข้ามหาวิทยาลัย และเตรียมสอบ SAT, ACT, ISEE และอื่นๆ โดยมีประสบการณ์ในการสอนมากกว่า 10 ปี ในการสอบ SAT เขาได้คะแนนคณิตศาสตร์ 800 คะแนนเต็มและภาษาอังกฤษ 690 คะแนน เขาจึงได้รับทุนดิกคินสันจากมหาวิทยาลัยไมอามี เขาเรียนจบปริญญาตรีด้านบริหารธุรกิจ นอกจากนี้เดวิดยังได้ทำงานเป็นผู้สอนผ่านทางวีดีโอออนไลน์ให้แก่บริษัทผลิตตำราเรียนอย่างเช่น Larson Texts, Big Ideas Learning และ Big Ideas Math อีกด้วย

บทความนี้ถูกเข้าชม 128,887 ครั้ง

สมการกำลังสองเป็นสมการพหุนามที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวโดยที่ค่ายกกำลังสูงสุดของตัวแปรนั้นคือ 2 มีวิธีการแก้สมการกำลังสองหลักๆ อยู่สามแบบด้วยกัน: 1) แยกตัวประกอบสมการกำลังสองถ้าคุณสามารถทำได้ 2) ใช้สูตรกำลังสอง หรือ 3) ถอดรากที่สอง หากคุณต้องการจะทำทั้งสามวิธีนี้ให้คล่อง แค่ทำตามขั้นตอนต่อไปนี้

1. ในการแยกตัวประกอบของนิพจน์นั้น คุณจะต้องใช้ตัวประกอบของพจน์ (3), และตัวประกอบของค่าคงที่ (-4) ให้มันคูณกันแล้วได้ค่าเท่ากับพจน์กลาง (-11) ให้ทำตามวิธีการดังนี้:
2. เป็นสมการแยกจากกัน. นี่จะให้คุณพบค่าสองค่าสำหรับ ที่จะทำให้สมการทั้งหมดเท่ากับศูนย์, \= 0 ตอนนี้เมื่อคุณแยกตัวประกอบของสมการออกมาแล้ว ทั้งหมดที่ต้องทำก็แค่ใส่นิพจน์ลงไปในวงเล็บแต่ละตัวให้เท่ากับศูนย์ แต่เพราะอะไรล่ะ ก็เพราะว่าในการให้ได้ศูนย์ด้วยการคูณนั้น เรามี "กฎหรือคุณสมบัติ" ที่ว่าตัวประกอบตัวหนึ่งจะต้องเท่ากับศูนย์ ซึ่งตัวประกอบในวงเล็บอย่างน้อยหนึ่งตัวตามตัวอย่าง จะต้องเป็นศูนย์ ดังนั้นไม่ (3x + 1) หรือ (x - 4) จะต้องเท่ากับศูนย์ ดังนั้น คุณสามารถเขียน และ เช่นกัน
3. แก้สมการ "เท่ากับศูนย์" สองตัวนี้แยกอิสระจากกัน. ในสมการกำลังสองนั้น มันจะมีค่าที่เป็นไปได้สำหรับตัวแปร x อยู่สองตัว ให้หาค่าที่เป็นได้สำหรับตัวแปร x ทีละตัวโดยการแยกตัวแปรและเขียนคำตอบสองคำตอบสำหรับ x เป็นคำตอบสุดท้าย ทำได้ตามตัวอย่างดังนี้:
   • แก้สมการ 3x + 1 = 0
     • 3x = -1 ..... โดยการลบ
     • 3x/3 = -1/3 ..... โดยการหาร
     • x = -1/3 ..... เขียนในรูปแบบอย่างง่าย
   • แก้สมการ x - 4 = 0
     • x = 4 ..... โดยการลบ
   • x = (-1/3, 4) ..... โดยการตอบชุดคำตอบที่เป็นไปได้แยกจากกัน หมายถึง x = -1/3, หรือ x = 4 ล้วนเป็นไปได้
4. เรามี (3[-1/3] + 1)([-1/3] – 4) ?=? 0 ..... โดยการแทนค่า (-1 + 1)(-4 1/3) ?=? 0 ..... โดยการทอนให้อยู่ในรูปแบบอย่างง่าย (0)(-4 1/3) = 0 ..... โดยการคูณ ดังนั้น 0 = 0 ..... ใช่แล้ว x = -1/3 ใช้ได้ผล
5. เรามี (3[4] + 1)([4] – 4) ?=? 0

   ..... โดยการแทนค่า (13)(4 – 4) ?=? 0 ..... โดยการทอนให้อยู่ในรูปแบบอย่างง่าย (13)(0) = 0 ..... โดยการคูณ 0 = 0 ..... ใช่แล้ว x = 4 ใช้ได้ผล

   • ดังนั้น ทั้งสองคำตอบได้รับการ"ตรวจทาน"แยกจากกัน และใช้ได้ผลเป็นคำตอบที่ถูกต้องทั้งคู่ โฆษณา

1. สูตรกำลังสองคือ:
2. ตัวแปร a คือสัมประสิทธิ์ของพจน์ x2, ส่วน b คือสัมประสิทธิ์ของพจน์ x, และ c คือค่าคงที่ สำหรับสมการ 3x2 -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5, และ c = -8 เขียนมันลงไป
3. ตอนนี้เมื่อคุณทราบค่าของตัวแปรทั้งสามแล้ว คุณสามารถแทนมันลงไปในสมการดังนี้:
   • {-b +/-√ (b2 - 4ac)}/2
   • {-(-5) +/-√ ((-5)2 - 4(3)(-8))}/2(3) =
   • {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3)
4. หลังจากแทนตัวเลขลงไปแล้ว ทำการหาคำตอบตามวิธีทางคณิตศาสตร์ตามเครื่องบวกบวกและลบ คูณหรือยกกำลังพจน์ที่เหลือ ทำได้ดังตัวอย่างนี้:
   • {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3) =
   • {5 +/-√(25 + 96)}/6
   • {5 +/-√(121)}/6
5. หากตัวเลขใต้เครื่องหมายกรณฑ์เป็นเลขกำลังสองสมบูรณ์ คุณจะได้จำนวนเต็ม หากมันไม่ใช่ คุณก็ต้องทอนมันให้อยู่ในรูปแบบอย่างง่ายที่สุด หากตัวเลขเป็นลบ และคุณแน่ใจว่ามันควรจะต้องเป็นลบ การถอดรากก็จะยุ่งยากขึ้นหน่อย ในตัวอย่างนี้ √(121) = 11 คุณสามารถเขียนว่า x = (5 +/- 11)/6
6. หากคุณกำจัดเครื่องหมายกรณฑ์ออกไปแล้ว คุณก็ทำต่อจนสามารถหาว่าผลของ x เป็นบวกหรือว่าลบ ตอนนี้คุณมี (5 +/- 11)/6, คุณมีทางเลือกสองแบบ:
   • (5 + 11)/6
   • (5 - 11)/6
7. ก็แค่ทำตามวิธีคณิตศาสตร์:
   • (5 + 11)/6 = 16/6
   • (5-11)/6 = -6/6
8. ทอนคำตอบแต่ละตัวนั้นก็แค่หารมันด้วยตัวเลขสูงที่สุดที่สามารถหารตัวเลขทั้งคู่ได้เท่าๆ กัน หารส่วนแรกด้วย 2, และหารส่วนที่สองด้วย 6, คุณก็จะได้คำตอบสำหรับ x
   • 16/6 = 8/3
   • -6/6 = -1
   • x = (-1, 8/3) โฆษณา

• ให้แน่ใจว่า a หรือพจน์ x2 นั้นเป็นบวก ทำตามตัวอย่างดังนี้:
• 2x2 - 9 = 12x =
• 2x2 - 12x - 9 = 0
  • ในสมการนี้ พจน์ a คือ 2, พจน์ b คือ -12, และพจน์ c คือ -9
• ค่าคงที่คือพจน์ที่เป็นตัวเลขไม่ติดตัวแปร ย้ายมันไปด้านขวาของสมการ:
• 2x2 - 12x - 9 = 0
• 2x2 - 12x = 9
• หารทั้งสองข้างด้วยสัมประสิทธิ์ของ a หรือพจน์ x2. หาก x2 ไม่มีตัวเลขใดอยู่ข้างหน้า นั่นคือมีสัมประสิทธิ์เท่ากับ 1, คุณก็สามารถข้ามขั้นตอนนี้ได้เลย ในตัวอย่าง คุณจะต้องหารพจน์ทั้งหมดด้วย 2, ดังนี้:
• 2x2/2 - 12x/2 = 9/2 =
• x2 - 6x = 9/2
• หาร b ด้วยสอง ยกกำลังสองแล้วบวกผลที่ได้ลงไปทั้งสองข้าง. พจน์ b ในตัวอย่างนี้คือ -6 ทำดังต่อไปนี้:
• -6/2 = -3 =
• (-3)2 = 9 =
• x2 - 6x + 9 = 9/2 + 9
• แยกตัวประกอบพจน์ทางด้านซ้ายและได้ (x-3)(x-3), หรือ (x-3)2 บวกพจน์ทางด้านขวาเพื่อได้ 9/2 + 9, หรือ 9/2 + 18/2, ซึ่งบวกกันแล้วจะได้ 27/2
• รากที่สองของ (x-3)2 ก็คือ (x-3) คุณสามารถเขียนรากที่สองของ 27/2 เป็น ±√(27/2) ดังนั้น x - 3 = ±√(27/2)

ในการทอน ±√(27/2), ให้มองหาเลขกำลังสองสมบูรณ์ที่อยู่ภายในตัวเลข 27 หรือ 2 หรือในตัวประกอบของพวกมัน ซึ่งจะพบเลขกำลังสองสมบูรณ์ 9 ในเลข 27, เพราะ 9 x 3 = 27 ในการดึง 9 ออกจากเครื่องหมายกรณฑ์ ให้ดึง 9 จากเครื่องหมายกรณฑ์แล้วเขียนเลข 3, อันเป็นรากที่สองของมันไว้นอกเครื่องหมายกรณฑ์ ปล่อย 3 อีกตัวที่เป็นตัวประกอบไว้ใต้เครื่องหมายกรณฑ์ เนื่องจากตัวประกอบส่วนนั้นของ 27 ไม่สามารถดึงออกมาได้อีกแล้ว และเหลือ 2 ไว้ด้านล่าง จากนั้นย้ายค่าคงที่ 3 จากทางข้างซ้ายของสมการไปทางข้างขวา แล้วเขียนคำตอบสองคำตอบที่ได้สำหรับ x: