คณิตศาสตร์ คอมพิวเตอร์ ตรรกศาสตร์

นิยามของประพจน์ จากตัวอย่างท่ีกล่าวถึงในแนวคิด จะเรียกข้อความ “เงินฝากในบัญชีมีไม่น้อยกว่า หน่ึงหมื่นบาท” และ “ผู้ฝากจะได้ ดอกเบ้ียร้อยละสามต่อปี” ว่าเป็น ประพจน์ ซึ่งจากเง่ือนไขถ้าประพจน์แรกเป็นจริงแล้ว ประพจน์ที่สองเป็นจริง แสดงว่า ธนาคารทก่ี ลา่ วขอ้ ความดังกลา่ วนน้ั พูดความจรงิ นยิ าม ประพจน์ คอื ข้อความท่สี ามารถบอกได้ว่า จรงิ หรอื เท็จ อย่างใดอยา่ งหน่ึงเทา่ นั้น ซง่ึ เราจะเรียกว่า ค่าความจริง เปน็ จรงิ หรือเปน็ เทจ็ ตัวอยา่ ง ขอ้ ความตอ่ ไปนีเ้ ป็นประพจน์หรือไม่ 1. ประเทศไทยอยใู่ นทวีปเอเชีย ขอ้ ความนี้เป็นจริง หรือมีค่าความจริงเปน็ จรงิ ดงั นัน้ จงึ เปน็ ประพจน์ 2. เดอื นมกราคม มี 30 วัน ข้อความนเ้ี ปน็ เทจ็ หรือมีค่าความจรงิ เปน็ เทจ็ ดังนัน้ จงึ เปน็ ประพจน์ 3. วนั น้ชี ่างสดใสจรงิ ๆ ข้อความน้ีเป็นการกล่าวท่ัวไป ซ่ึงอาจจะจริงสาหรับบางคน หรือไม่จริงสาหรับคนอื่นก็ได้ ดังน้ันค่าความจริงยังไม่ ชดั เจนแนน่ อนวา่ เปน็ จริง หรือ เปน็ เท็จ ดังนนั้ จึงไมเ่ ป็นประพจน์ 4. 5-6=1 สมการดงั กล่าวซึ่งถอื เป็นขอ้ ความ มคี ่าความจรงิ เป็นเทจ็ ดงั นน้ั จงึ เป็นประพจน์

นิยามของประพจน์ 5. x + 6 > 0 ขอ้ ความ (อสมการ) ดังกล่าว อาจเป็นจริงในบางคา่ ของตวั แปร x และอาจเปน็ เท็จในบางค่า (เช่น x = -7) ดังนั้น ถ้ายัง ไม่ทราบค่าของตัวแปร x ที่แน่นอน จะไม่สามารถระบุค่าความเป็นจริงของข้อความดังกล่าวได้ ดังนั้นข้อความน้ีจึงไม่เป็น ประพจน์ 6. ประเทศไทยอย่ใู นทวีปใด ข้อความนเ้ี ปน็ คาถาม ซึง่ ไม่สามารถระบุไดว้ ่าเป็นจริงหรอื เท็จ ดงั น้ันจึงไมเ่ ปน็ ประพจน์ 7. x0 < 0 เมื่อ x เป็นจานวนจรงิ ข้อความนี้เปน็ เท็จเสมอ ไมว่ า่ x จะเป็นจานวนจรงิ ใดๆ เพราะ x0= 1 ดงั น้ันจึงเปน็ ประพจน์ 8. ประพจน์นเ้ี ปน็ เท็จ ข้อความข้างต้นเป็นตัวอย่างท่ีทาให้สงสัยได้ง่ายว่าเป็นประพจน์หรือไม่ แต่ถ้าเราสมมติว่า ข้อความดังกล่าวเป็นจริง ดังนัน้ ข้อความในประโยคถกู ต้องซึง่ ข้อความบอกว่าเปน็ เท็จดังนัน้ จึงไมส่ ามารถระบไุ ด้ว่าจริงๆ ข้อความดังกล่าวเป็นจริงหรือ เท็จ แต่ถ้าเราสมมติใหม่ว่าให้ข้อความดังกล่าวเป็นเท็จ ดังน้ันข้อความดังกล่าวไม่จริง ดังน้ันประพจน์นี้ต้องเป็นจริง ซึ่งจะ ตรงข้ามกับท่ีสมมติว่าให้เป็นเท็จ ดังนั้นจึงไม่สามารถระบุค่าความเป็นจริงของข้อความดังกล่าวได้ จึงสรุปได้ว่าข้อความ ดังกลา่ วไม่เป็นประพจน์

นิยามของประพจน์ จากประพจน์ท่ีเป็นข้อความ ซึ่งมีสถานะหรือค่าความจริงอยู่สองสถานะ คือ จริง หรือ เท็จ เมื่อการวิเคราะห์หาค่า ความจริงของประพจน์ที่มีหลายๆ ประพจน์ผสมกันในลักษณะต่างๆ จะเริ่มซับซ้อนข้ึน ดังนั้น ในทางคณิตศาสตร์ จะแทน ประพจน์ซ่ึงเป็นข้อความต่างๆ นั้น ด้วยตัวแปรและค่าของตัวแปรก็จะมีค่าสองสถานะ คือ จริง หรือ เท็จ ซึ่งมีลักษณะ เหมือนกับเลขฐานสองที่มีสองสัญลักษณ์ และทาให้การคานวณทางตรรกศาสตร์สามารถกระทาได้โดยคอมพิวเตอร์ ซ่ึงใช้ เลขฐานสองในการคานวณ ตวั แปรทใี่ ชแ้ ทนขอ้ ความที่เป็นประพจน์ อาจใช้ตัวแปรใดก็ได้ แต่โดยส่วนใหญ่ หนังสือคณิตศาสตร์มักจะใช้สัญลักษณ์ p, q, r และต่อๆ ไปเร่ือยๆ ดังเช่น ถ้าเราให้ p = “เงินฝากในบัญชีมีไม่น้อยกว่าหน่ึงหมื่นบาท” q = “ผู้ฝากจะได้ดอกเบี้ย ร้อยละสามต่อปี” เขียนเง่ือนไขได้เป็น ถ้า p แล้ว q และค่าความจริงของประพจน์ จะแทนด้วย T เมื่อประพจน์มีค่าความ จรงิ เป็นจริง (มาจาก True) และใช้ F เมอื่ ประพจนม์ คี า่ ความจริงเปน็ เทจ็ (มาจาก False)

ประพจน์ผสม ถ้า “นักเรียนได้เกรดไม่ต่ากว่า 3.5” และ “นักเรียนเป็นเด็กดี” แล้วโรงเรียนจะมอบเกียรติบัตรจากข้อความดังกล่าว หน่อยจะไดร้ บั เกียรตบิ ตั ร กต็ อ่ เมือ่ เง่ือนไขทง้ั สองอยา่ งเปน็ จรงิ ซ่ึงจะเหน็ วา่ การตัดสินใจของโรงเรยี น ในการมอบเกยี รติบตั ร นั้น ค่าความจริงของประพจนท์ ้ังสองต้องเป็นจรงิ ทง้ั คู่ พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้ ถ้า “สญั ญาณไฟเขยี ว” หรอื “ฝั่งตรงขา้ มไม่มีรถ” แลว้ ใหก้ ลบั รถได้ดงั นน้ั เราสามารถกลับรถ ได้ ถา้ คา่ ความจริง ของประพจนใ์ ดประพจนห์ น่ึง จากสองประพจน์ดงั กลา่ วเปน็ จรงิ จากเงือ่ นไขดงั กลา่ วขา้ งต้นในหลายๆ คร้ัง การตัดสนิ ใจอย่างใดอย่างหน่ึง อาจต้องขึ้นอยู่กับสาเหตุหลายๆ ปัจจัย หรือ ในรูปของประพจน์ คือ มีหลายประพจน์เป็นองค์ประกอบ ซึ่งจะเรียกว่า ประพจน์ผสม (Compound) ซ่ึงประพจน์หลายๆ ประพจน์อาจเชอื่ มต่อกันดว้ ยเงอ่ื นไข “และ” และเงื่อนไข “หรือ” ดังตัวอย่างข้างต้น ซ่ึงค่าความจริงของประพจน์ผสมก็จะ ขึน้ กับคา่ ความจริงของประพจนย์ อ่ ยแต่ละตวั และคาเช่ือม

ประพจน์ผสม ประพจนผ์ สมทเ่ี ชื่อมด้วย “และ” (AND) ถ้าประพจน์สองประพจน์เช่ือมด้วยเง่ือนไข “และ” ค่าความจริงของประพจน์ผสมจะเป็นจริงเม่ือประพจน์ท้ังสองเป็น จริง ดงั ตัวอย่างต่อไปน้ี ตัวอยา่ ง ใหห้ าคา่ ความจริงของประพจนผ์ สมตอ่ ไปนี้ 1. ประเทศไทยอยู่ในทวีปเอเชยี และ เดือนมกราคมมี 31 วัน ค่าความจรงิ ของประพจนท์ ั้งสองเปน็ จรงิ ดงั น้ันคา่ ความจรงิ ของประพจนผ์ สมทเ่ี ชื่อมดว้ ย “และ” ในข้อนจี้ ึงเป็นจริง 2. ประเทศไทยอยู่ในทวีปเอเชีย และ เดอื นมกราคมมี 30 วนั ค่าความจริงของ ประพจน์แรกเป็นจริง แต่ ค่าความจริงของประพจน์ที่สองเป็นเท็จ (เพราะเดือนมกราคมมี 31 วัน) ดงั นน้ั ประพจนผ์ สมทเี่ ชื่อมดว้ ย “และ” ในขอ้ น้จี ึงเปน็ เท็จ 3. ประเทศไทยอย่ใู นทวปี ยโุ รป และ เดือนมกราคมมี 31 วัน ค่าความจริงของประพจน์แรกเป็นเท็จ ส่วนค่าความจริงของประพจน์ที่สองเป็นจริง ดังน้ันประพจน์ผสมท่ีเชื่อมด้วย “และ” ในข้อน้จี งึ เป็นเท็จ 4. ประเทศไทยอย่ใู นทวีปยโุ รป และ เดอื นมกราคมมี 30 วัน คา่ ความจริงของทง้ั สองประพจน์ เปน็ เท็จ ดงั นัน้ ประพจนผ์ สมท่ีเชื่อมดว้ ย “และ” ในข้อน้ีจึงมีค่าความจริงเป็นเท็จ

ประพจน์ผสม ถ้าให้ p แทนประพจน์แรก และ q แทนประพจน์ที่สอง ซ่ึงเชื่อมด้วย “และ” โดยใช้สัญลักษณ์ • แทน (คล้ายกับ เคร่อื งหมายคณู ) ซ่ึงเขียนได้เป็น p • q (อา่ นวา่ พแี ละคิว) เราสามารถเขียนคา่ ความจริงของประพจนผ์ สมของทั้งสองจากท้ัง สก่ี รณีข้างตน้ ได้ดังตารางต่อไปน้ี ตารางแสดงคา่ ความจรงิ ของ “และ”

ประพจน์ผสม ประพจน์ผสมท่เี ชื่อมดว้ ย “หรอื ” (OR) ประพจนผ์ สมสองประพจน์ที่มตี วั เช่ือม “หรอื ” จะมคี ่าความจริงเป็นเท็จ เม่ือค่าความจริงของประพจน์ทั้งสองเป็นเท็จ และจะมีค่าความจริงเป็นจริง ในกรณีอืน่ ๆ ทเ่ี หลือ พิจารณาตัวอย่างต่อไปน้ี ตวั อยา่ ง ใหห้ าคา่ ความจรงิ ของประพจน์ผสมตอ่ ไปน้ี 1. รถยนต์มสี ่ลี ้อ หรือ รถจกั รยานมสี องล้อ ประพจน์ทั้งสองเปน็ จรงิ ดงั นน้ั ประพจน์ผสมจงึ เปน็ จรงิ 2. รถยนตม์ สี ่ีล้อ หรอื รถจักรยานมีสีล่ อ้ ประพจน์แรกเป็นจริง ส่วนประพจน์ที่สองเป็นเท็จ แต่เม่ือผสมกันด้วยตัวเช่ือม“หรือ” ทาให้ประพจน์ผสมมีค่าความ จริงเปน็ จรงิ 3. รถยนต์มีสองล้อ หรือ รถจักรยานมีสองล้อประพจน์แรกเป็นเท็จ ส่วนประพจน์ที่สองเป็นจริง เม่ือผสมกัน ด้วย ตวั เชอ่ื ม “หรอื ” ทาใหป้ ระพจนผ์ สมมีคา่ ความจรงิ เปน็ จริง 4. รถยนตม์ ีสองล้อ หรอื รถจกั รยานมีส่ีล้อ ประพจนท์ ้งั สองเปน็ เท็จ เมือ่ ผสมกัน ดว้ ยตวั เช่ือม “หรอื ” ทาใหป้ ระพจน์ผสมมคี า่ ความจรงิ เปน็ เท็จ

ประพจนผ์ สม ถ้าให้ประพจน์แรก แทนด้วย p และประพจน์ที่สองแทนด้วย q และประพจน์ผสมที่เช่ือมด้วย “หรือ” แทนด้วย + หรอื เขยี นได้เป็น p + q ซึง่ เหมอื นกับเคร่ืองหมายการบวกแต่มิใช่การบวก เราสามารถสรุปตารางค่าความจริงของประพจน์ ผสมทงั้ สีก่ รณีนไี้ ด้ ดงั ตารางข้างลา่ ง ตารางแสดงคา่ ความจรงิ ของ “ หรอื ”

ประพจน์ผสม นเิ สธของประพจน์ (Negation หรอื NOT) นิเสธของประพจนค์ ือประพจนท์ ี่มคี า่ ความจรงิ ตรงขา้ มกบั ประพจน์ตงั้ ตน้ พจิ ารณาตัวอยา่ งตอ่ ไปน้ี ตัวอยา่ ง ใหห้ าคา่ ความจริงของประพจนต์ ่อไปนี้ 1. กรุงเทพ เป็นเมอื งหลวงของประเทศไทย มีคา่ ความจรงิ เปน็ จริง 2. กรงุ เทพ ไม่เปน็ เมืองหลวงของประเทศไทย มีค่าความจรงิ เปน็ เทจ็ 3. เชยี งใหม่ อยู่ในภาคใต้ มคี ่าความจรงิ เปน็ เท็จ 4. เชียงใหม่ ไมอ่ ยใู่ นภาคใต้ มีคา่ ความจรงิ เป็น จรงิ

ประพจนผ์ สม ถ้าเราให้ p แทนประพจน์ตั้งต้น และนิเสธประพจน์ของ p แทนด้วย p เราสามารถสรุปค่าความจริงได้ดังตาราง ขา้ งลา่ ง แสดงคา่ ความจรงิ ของนิเสธประพจน์ จากประพจนผ์ สม ซงึ่ ประกอบไปด้วยตัวเชอื่ ม “และ” “หรอื ” รวมทง้ั นิเสธประพจน์ประพจน์ผสม อาจมีหลายรูปแบบ กว่านี้ โดยอาจมีการผสมกันระหว่าง ตัวเช่ือมดังกล่าวที่ผ่านมาหรือรวมท้ังประพจน์ผสมท่ีเกิดจากหลายประพจน์มากกว่า สองประพจน์ ซ่ึงวิธีการหาค่าความจริงก็สามารถประยุกต์ใช้ตารางค่าความจริงจากการเชื่อมประพจน์ ด้วย และ หรือ รวมทั้งประพจน์ตรงขา้ ม ดังตัวอย่างตอ่ ไปนี้

ประพจนผ์ สม ตัวอย่าง กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ใดๆ ให้หาตารางค่าความจริง ของ p • q วิธที า ทาทลี ะขัน้ ตอน โดยอาจให้ p • q ก่อน แลว้ ค่อยหา p • q ดังตารางขา้ งลา่ ง จากตาราง ค่าความจรงิ ของ p • q กค็ ือ ค่าความจริงท่ตี รงขา้ มกบั p • q ซ่งึ เรยี กว่า NAND (NOT AND)

ประพจนผ์ สม ตวั อย่าง ให้หาตารางคา่ ความจรงิ ของ (p + q) • p • q วิธที า ใช้หลกั การเดยี วกันกับตัวอย่างที่ผ่านมา โดยการทาทีละขั้น ซ่ึงเร่ิมจากการหาค่าความจริงของ p+q และ p • q แล้ว นาผลค่าความจรงิ จากทง้ั สองมาเช่อื มกนั ดว้ ย • ดังตารางตอ่ ไปน้ี

ประพจน์ผสมแบบสัจนิรันดร์และแบบขดั แย้ง สัจนิรันดร์ ความหมายของคาว่า สัจนิรันดร์ คือ เป็นจริงเสมอ นั่นคือประพจน์ผสมบางรูปแบบให้ค่าตารางความจริงเป็นจริงทุกๆ กรณี ไมว่ า่ ประพจน์ต้ังตน้ จะมีค่าความจรงิ เปน็ จริงหรอื เท็จกต็ าม พิจารณาตัวอยา่ งต่อไปนี้ ตวั อยา่ ง ใหห้ าค่าความจรงิ ของ p + p วิธที า จากตาราง จะเหน็ ว่าผลของประพจน์ผสม จะมีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ เราจงึ เรียกวา่ p + p เปน็ สจั นริ นั ดร์

ประพจนผ์ สมแบบสจั นิรันดร์และแบบขัดแย้ง ประพจน์ขัดแยง้ ความหมายของประพจน์ขัดแย้ง คือ ประพจน์ผสมที่มีค่าความจริงเป็นเท็จทุกกรณี ซึ่งจะตรงข้ามกับประพจน์ สจั นิรนั ดร์ เช่น ตวั อยา่ ง ให้หาค่าความจรงิ ของ (p + q) • (p + q) วิธที า ผลทไี่ ด้ คา่ ความจรงิ ของ (p + q) • (p + q) เปน็ เทจ็ ทุกกรณี ดังน้ัน ประพจน์ผสม (p + q) • (p + q) จึงเป็นประพจน์ ท่ขี ดั แยง้ กัน

ประพจน์สมมูล การเขียนประพจน์หรือข้อความสามารถเขียนได้หลายรูปแบบ แต่ยังคงมีความหมายเดียวกัน พิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ี “หก มีค่ามากกว่า สอง” และ “สอง มีค่าน้อยกว่า หก” ทั้งสองข้อความดังกล่าวมีความหมาย เหมอื นกนั อาจเรียกวา่ ทั้งสองข้อความเปน็ ข้อความสมมูล พิจารณาประพจน์ สองประพจน์ตอ่ ไปนี้ “นกมีสองขา และ แมวมีส่ีขา” กับ “แมวมีส่ีขา และ นกมีสองขา’ ประพจน์ท้ังสองข้างต้นดังกล่าว มคี วามหมายเหมอื นกัน ซ่ึงเรยี กได้ว่าเป็นประพจน์สมมูล และเมื่อพิจารณาค่าความจริงของประพจน์ท้ัง สอง ค่าความจริงจะต้องเหมือนกัน เช่น ถ้าให้ p แทน นกมีสองขา q แทนแมวมีส่ีขา จากข้อความ ประพจน์ข้างต้น เราเขียนในเชิงสัญลักษณ์ ได้เป็น p • q และ q • p และเม่ือสรา้ งเป็นตารางค่าความ จรงิ จะไดด้ ังตารางดังนี้

ประพจน์สมมูล ตารางแสดงคา่ ความจรงิ ของประพจนส์ มมูล p•q กบั q•p ซึ่งจะเห็นได้ว่า ค่าความจริงของประพจน์ทั้งสองมีค่าเหมือนกันทุกกรณี และใช้สัญลักษณ์ ≡ แทนสมมูล ดังเช่นจาก ตวั อยา่ งขา้ งต้น เขยี นได้เป็น p•q ≡ q•p จึงสรุปเป็นนยิ ามไดด้ ังนี้ ประพจน์สมมลู คอื ประพจนท์ ่ีมตี ารางคา่ ความจริงเหมือนกนั ทกุ กรณี

ประพจนส์ มมลู ตวั อย่าง จงแสดงใหเ้ ห็นวา่ (p • q) และ p + q เป็ นประพจนส์ มมูล วธิ ที า สามารถแสดงไดโ้ ดยการเปรยี บเทยี บตารางคา่ ความจรงิ ดงั นี้ จากตาราง จะเห็นว่า ค่าความจริงของ p • q เหมือนกับค่าความจริงของ p + q ในทุกกรณีดังน้ันสรุปได้ว่า (p • q) ≡p+q

ประพจนผ์ สมแบบเงื่อนไข ประพจน์ผสมทเ่ี ชือ่ มด้วย ถา้ … แลว้ … (if … then …) การเช่ือมประพจนด์ ้วย “ถา้ p แล้ว q ” ดังตวั อย่างท่ีผ่านมาในแนวคิด คือ “ถ้าเงินฝากในบัญชีมีไม่น้อยกว่าหนึ่งหม่ืน บาท แลว้ ผูฝ้ ากจะไดด้ อกเบี้ยรอ้ ยละสามตอ่ ปี” p แทน เงินฝากในบญั ชีมไี มน่ ้อยกวา่ หนึ่งหมื่นบาท และ q แทน ผู้ฝากจะได้ ดอกเบ้ยี ร้อยละสามตอ่ ปี และ ใช้สัญลกั ษณ์ p→q มีความหมายวา่ ถ้า p เป็นจริง q จะเป็นจริง ในการหาค่าความจรงิ ของการเช่ือมประพจนน์ ี้ ใหพ้ ิจารณาเหตุการตอ่ ไปนี้ โดยใชเ้ งอ่ื นไขข้างต้น ดังนี้ 1. ถ้าน้องรถเมล์ มีเงินฝากในบัญชีสองหมื่นบาท แล้วธนาคารให้ดอกเบี้ยร้อยละสามต่อปี นักเรียนคิดว่า ธนาคารพูด จรงิ หรือไม่ คาตอบคือ จรงิ นนั่ คอื เขียนไดเ้ ปน็ p = T, q = T, p → q = T 2. ถ้าน้องรถเมล์ มีเงินฝากในบัญชีสองหมื่นบาท แล้วธนาคารให้ดอกเบี้ยร้อยละสองต่อปี นักเรียนคิดว่า ธนาคารพูด จรงิ หรอื ไม่ คาตอบคือ เทจ็ นน่ั คือ เขียนไดเ้ ปน็ p = T, q = F, p → q = F

ประพจน์ผสมแบบเงื่อนไข 3. ถา้ น้องรถเมล์ มีเงินฝากในบัญชีห้าพันบาท แล้วธนาคารให้ดอกเบ้ียร้อยละสามต่อปี นักเรียนคิดว่า ธนาคารพูดจริง หรอื ไม่ คาตอบคอื จริง (ถูกต้องแล้ว เพราะถึงเงินฝากจะไม่ถึงหนึ่งหมื่นบาท ธนาคารก็ไม่ได้บอกว่าจะไม่ให้ดอกเบ้ียร้อยละ สาม ดงั นน้ั ธนาคารจึงพูดจริง) นัน่ คือ เขียนได้เป็น p = F, q = T, p → q = T 4. ถ้าน้องรถเมล์ มีเงินฝากห้าพันบาท แล้วธนาคารให้ดอกเบี้ยร้อยละสองต่อปี นักเรียนคิดว่า ธนาคารพูดจริงหรือไม่ คาตอบคือ จริง (เพราะน้องรถเมล์มีเงินฝากไม่ถึงหนึ่งหม่ืนบาท ดังนั้นธนาคารมีสิทธิท่ีจะให้ดอกเบ้ียเท่าไหร่ก็ได้) น่ันคือ เขียนไดเ้ ปน็ p = F, q = F, p → q = T ตารางแสดงคา่ ความจรงิ ของ “ ถา้ แลว้ ”

ประพจนผ์ สมแบบเงื่อนไข ตวั อยา่ ง จงแสดงว่า ประพจน์ผสม “ถา้ p แลว้ q” (p → q) เปน็ ประพจนส์ มมูลกบั “ไมใ่ ช่ p หรือ q” (p + q) วธิ ีทา ใช้วธิ ีการสรา้ งตารางคา่ ความจริง เพ่อื เปรยี บเทยี บคา่ ความจรงิ ของท้ังประพจนผ์ สมทงั้ สองดังนี้ จากตารางค่าความจริง จะเห็นว่า p → q กับ p + q มีค่าความจริงเหมือนกันในทุกกรณีดังนั้น ท้ังสองจึงเป็น ประพจน์สมมลู

ประพจนผ์ สมแบบเงื่อนไข ประพจน์ผสมทเ่ี ชื่อมดว้ ย “กต็ อ่ เม่อื ” (if and only if) อีกกรณีหนึ่งคือ การเชื่อมประพจน์ด้วย “p ก็ต่อเมื่อ q” ซึ่งจะมีความหมายคือ ค่าความจริงของทั้งสองประพจน์ จะต้องเหมือนกัน นั่นคือ ถ้าประพจน์ p เป็นจริง แล้วประพจน์ q จะต้องเป็นจริงและถ้าประพจน์ p เป็นเท็จ ประพจน์ q จะต้องเป็นเทจ็ ดว้ ย ถึงจะทาใหค้ ่าความเป็นจริงของ “p ก็ต่อเมือ่ q” เป็นจริง พจิ ารณาตัวอย่างเหตกุ ารณ์ต่อไปนี้ “คุณพ่อซ้ือจักรยานให้โจ้ ก็ต่อเม่ือโจ้เรียนได้เกรดเฉล่ียอย่างน้อย 3.8” เปรียบเทียบกับข้อความ “ถ้าโจ้เรียนได้เกรด เฉลย่ี อยา่ งนอ้ ย 3.8 เทา่ น้ัน แล้วพ่อซ้ือจักรยานให้” ให้นกั เรยี นพจิ ารณาความเป็นไปได้ต่อไปน้ี โดยให้ประพจน์ p แทน “คุณพ่อซื้อจักรยานให้โจ้” และ q แทน “โจ้เรียน ได้เกรดเฉล่ียอยา่ งนอ้ ย 3.8” เราใช้สญั ลักษณ์ p↔q (p equivalents to q) แทน “p กต็ ่อเมื่อ q” 1. โจ้ เรียนได้เกรดเฉลี่ย 3.9 แล้วคุณพ่อซื้อจักรยานให้โจ้ นักเรียนคิดว่าคุณพ่อพูดจริงหรือไม่ คาตอบคือ จริง นั่นคือ เราเขยี นค่าความจริงไดเ้ ปน็ p = T, q = T, p ↔ q = T 2. โจ้เรียนได้เกรดเฉล่ีย 3.9 แต่คุณพ่อไม่ซ้ือจักรยานให้โจ้ นักเรียนคิดว่าคุณพ่อพูดจริงหรือไม่ คาตอบคือ เท็จ ดังน้ัน เราเขยี นค่าความจรงิ ไดเ้ ป็น p = F, q = T, p ↔ q = F

ประพจน์ผสมแบบเงือ่ นไข 3. โจ้เรียนได้เกรดเฉลี่ย 3.7 แต่คุณพ่อซื้อจักรยานให้ นักเรียนคิดว่า คุณพ่อพูดจริงหรือไม่ คาตอบคือ เท็จ (ใช่แล้ว เพราะคณุ พอ่ จะซ้อื จกั รยานใหก้ ็ตอ่ เม่ือโจ้ได้เกรดเฉลย่ี อย่างนอ้ ย 3.8 เทา่ น้นั เมือ่ โจ้เกรดต่าไปแต่คุณพ่อยังซ้ือให้จึงเป็นเท็จ) ดังนน้ั เราเขยี นคา่ ความจริงไดเ้ ป็น p = T, q = F, p ↔ q = F 4. โจ้เรียนได้เกรดเฉล่ีย 3.7 และ คุณพ่อไม่ซ้ือจักรยานให้โจ้ นักเรียนคิดว่า คุณพ่อพูดจริงหรือไม่ คาตอบคือ จริง น่ัน คือ p = F, q = F, p ↔ q = T ตารางแสดงคา่ ความจรงิ ของ “ก็ตอ่ เมอื่ ”

ประพจนผ์ สมแบบเงื่อนไข ตัวอย่าง จงแสดงวา่ p ↔ q ≡ (p→q)•(q→p) วิธที า ใช้วธิ ีสรา้ งตารางคา่ ความจรงิ แล้วเปรียบเทยี บค่าความจรงิ ของประพจนผ์ สมท้งั สอง ดงั น้ี จากตาราง จะเห็นได้ว่า ประพจน์ผสมท้ังสอง มีค่าความจริงเหมือนกันในทุกกรณี ดังน้ันจึงสรุปได้ว่า p ↔ q ≡ (p→q)•(q→p)

ประพจนผ์ สมแบบเงือ่ นไข ในการเช่ือมประพจน์แบบเง่ือนไขน้ี เป็นพื้นฐานท่ีสาคัญในการพิสูจน์ทฤษฎีต่างๆ ในทาง คณิตศาสตร์ โดยการเชื่อมประพจน์ด้วย “ถ้า… แล้ว…” จะเรยี กเง่ือนไข (ประพจน์แรกหลังคาว่า ถ้า) ว่าเป็นเง่ือนไขเพียงพอ (sufficient) ที่จะทาให้ผลลัพธ์ (ประพจน์ท่ีอยู่หลังคาว่าแล้ว) เป็นจริง เช่น พิจารณาประพจน์ “ถ้า x = 2 แล้ว x = 2 ” ถ้าประพจน์แรก คือ x = 2 เป็นจริงก็เป็นเงื่อนไขท่ี เพียงพอ ท่ีทาให้ ประพจน์ x = 2 เป็นจริง แต่ก็ไม่ใช่ว่า เป็นเงื่อนไขที่จาเป็นหรือ เป็นเงื่อนไขเพียง อย่างเดียวท่ที าให้ ประพจน์ผลลพั ธเ์ ปน็ จริงได้ เชน่ ถ้า x = -2 กท็ าให้ประพจน์ x = 2 ได้เชน่ กัน ส่วนในกรณีที่เช่ือมด้วย “ก็ต่อเมื่อ” ประพจน์ท้ังสองจะต้องมีค่าความจริงเหมือนกัน ดังน้ัน ประพจน์ท้ังสองสามารถจะสลับท่ีกันได้ และเราจะเรียกประพจน์หลัง “ก็ต่อเมื่อ” ว่าเป็นเงื่อนไขที่ เพียงพอและจาเป็น (sufficient and necessary conditions) ที่ทาให้ประพจน์ที่สองเป็นจริงพจิ ารณา ตัวอย่าง “x-1=1 ก็ต่อเม่ือ x=2” หรือ เขียนได้อกี อย่างเป็น “ถ้าเพียงแต่ x=2 แล้ว x-1=1” จะเหน็ ได้ ว่าประพจน์ x=2 เป็นเง่ือนไขที่เพียงพอท่ีทาให้ประพจน์ x-1=1 และยังเป็นเง่ือนไขจาเป็นด้วย (หรือ เง่ือนไขเดียวเท่าน้ัน) เพราะไม่มีค่า x ค่าอ่ืนอีกแล้วท่ีทาให้ประพจน์ x-1=1 เป็นจริงได้ ซึ่งจะแตกต่าง จากกรณีท่แี ลว้