โจทย์เงื่อนไขสัญลักษณ์ เศษส่วน

เตรียมสอบ ภาค ก.เล่มที่ 1 from ประพันธ์ เวารัมย์ แบ่งปันความรู้ส่ความก้าวหน้า

ข้อสอบ ก.พ. ความสมารถทั่วไป เงื่อนไขสัญลักษณ์ ส่วนใหญ่เป็นข้อสอบเกี่ยวกับการเปรียบเทียบ โดย

ใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ เช่น

-เครื่องหมาย เท่ากัน (=) เช่น A=B
-เครื่องหมาย ไม่เท่ากัน(≠) เช่น A ≠ B
-เครื่องหมายมากกว่า (>) เช่น A > B
-เครื่องหมายน้อยกว่า(<) เช่น A < B
-เครื่องหมายมากกว่าหรือเท่ากับ (≥) เช่น A ≥ B
-เครื่องหมายน้อยกว่าหรือเท่ากับ(≤) เช่น A ≤ B
-เครื่องหมายไม่มากกว่า(≯) เช่น A ≯ B
-เครื่องหมายไม่น้อยกว่า(≮) เช่น A ≮ B

เป็นต้น

ในการแก้ปัญหาโจทย์ที่เกี่ยวกับการเปรียบเทียบ มีหลักการเบื้องต้น หรือ คุณสมบัติการไม่เท่ากันของจำนวนจริง (Properties of Inequalities) ที่ควรทราบ คือ

1. คุณสมบัติด้านการส่งผ่าน (Transitive Property)
   ถ้าเรานำค่ามาเรียงกันในทิศทางเดียวกัน เราสามารถข้ามตัวกลางได้ เช่น
   
   1. A>B>C>D เราสามารถสรุปได้ว่า A>D
      นั่นคือ เราสามารถข้าม B และ C ได้
   2. ถ้า A ≥ B ≥ C ≥ D แล้ว
      สามารถสรุปได้ว่า
      A ≥ D
   3. ถ้า A > B ≥ C ≥ D แล้ว
      สามารถสรุปได้ว่า
      A > D
   ข้อสังเกต
   1. ความเท่ากันของเครื่องหมาย ≥ จะหายไป เมื่อมีเครื่องหมายที่ต่างกัน
   2. ทิศทางของเครื่องหมาย ต้องมีทิศทางเดียวกัน จะมีทิศทางสวนกัน หรือต่างกัน ไม่ได้ เช่น
      ถ้า A > B ≥ C < D แล้ว
      จะสรุปความสัมพันธ์ใด ๆ ระหว่าง A และ D ไม่ได้เลย
2. คุณสมบัติการกลับ (Reversal Property)
   เราสามารถพูดได้ว่า ถ้า A>B แล้ว เราสามารถพูดกลับกันได้ว่า B<A
   
   ตัวอย่าง
   พ่อสูงมากกว่าแม่ พูดได้อีกอย่างว่า แม่สูงน้อยกว่าพ่อ
3. การบวกและลบ
   

   ดาวน์โหลด App สอบ ก.พ. สำหรับ Android ฟรี ที่ Play Store

   • ตามหลักสูตร ก.พ. ใหม่
   • มีแนวข้อสอบ มากกว่า 1,000 ข้อ
   • มีเฉลยอย่างละเอียด มีคำอธิบายทุกข้อ
   • มีสรุปและเทคนิคการทำข้อสอบ
   • มีชุดข้อสอบให้ลองทำ พร้อมจับเวลา
   เราสามารถนำตัวเลขตัวเดียวกัน มาบวก หรือ ลบ จำนวนที่ไม่เท่ากันได้ โดยยังมีทิศทางคงเดิม เช่น
   ถ้า A > B > C แล้ว สรุปได้ว่า A+D > B+D > C+D หรือ
   ถ้า A > B > C แล้ว สรุปได้ว่า A+5 > B+5> C+5 หรือ
   ถ้า A+D > B+D > C+D แล้ว สรุปได้ว่า A > B > C หรือ
   ถ้า A-D > B-D > C-D แล้ว สรุปได้ว่า A > B > C
   ตัวอย่าง
   พี่มีเงินมากว่าน้อง พ่อให้เงินพี่และน้องอีกคนละ 5 บาท เราสามารถสรุปได้ว่า พี่มีเงินมากกว่าน้อง เหมือนเดิม
   
4. การคูณและหาร ด้วยจำนวนเต็มบวกที่ไม่ใช่ศูนย์
   เราสามารถนำเลขจำนวนเต็มที่มีค่าเป็นบวกที่ไม่เป็นศูนย์มาคูณหรือหาร จำนวนที่ไม่เท่ากัน ได้ โดยไม่ทำให้ทิศทางการไม่เท่ากันเปลี่ยนแปลง เช่น ถ้า A > B > C และ D เป็นเลขจำนวนเต็มบวกที่ไม่ใช่ศูนย์ แล้ว สรุปได้ว่า DA > DB > DC หรือ
   ถ้า A > B > C แล้ว สรุปได้ว่า 5A > 5B > 5C
   
   ตัวอย่าง
   พี่มีเงิน 7 บาท น้องมีเงิน 5 บาท พ่อให้เงินพี่และน้องเพิ่มอีกคนละ 2 เท่า สรุปได้ว่า พี่มีเงินมากกว่าน้อง เพราะ พ่อให้เงินพี่ เท่ากับ 7x2 = 14 บาท ให้เงินน้อง 5x2 = 10 บาท ดังนั้น พี่มีเงิน 14+7 = 21 บาท น้องมีเงิน 5+10=15 บาท
   
   ข้อนี้มีประโยชน์คือ ถ้าโจทย์ ก.พ. มีการให้มา 2 เงื่อนไข แต่ตัวเชื่อมไม่เท่ากัน เราสามารถปรับตัวเชื่อมให้เท่ากันได้ โดยการคูณ หรือ หาร
   
   
5. การคูณ หรือหาร ด้วยจำนวนลบ จะทำให้เครื่องหมายกลับเป็นตรงข้าม เช่น
   ถ้า a < b และ c เป็นเลขจำนวนเต็มลบ จะสรุปได้ว่า ac > bc
   (เท่าที่ผ่านมา ข้อสอบ ก.พ. ยังไม่พบว่ามีการใช้การคูณด้วยจำนวนเต็ม ลบ)
6. การคูณไขว้ เศษส่วน
   ในกรณีที่ทุกตัวมีค่ามากกว่า 0 สามารถนำมาคูณไขว้กันได้ เช่น
   ถ้า

   A/3

   >

   B/4

   แล้ว 4A > 3B
   หรือ
   

   1/2

   >

   2/5

   
   (1)(5) > (2)(2)
   5 > 4
7. การกลับเศษเป็นส่วน(Multiplicative Inverse) จะทำให้เครื่องหมายเปลี่ยนเป็นตรงข้าม เช่น
   ถ้า a และ b เป็นเลขจำนวนบวก หรือ จำนวนลบ
   ถ้า

   a/1

   <

   b/1

   สรุปได้ว่า

   1/a

   >

   1/b

   
   ตัวอย่าง
   3 > 2 สรุปได้ว่า

   1/3

   <

   1/2

   
   หรือ ในการแข่งขันการเดิน ระยะทาง 12 กม. สมศักดิ์เดินได้เร็ว 6 กม/ชม. สุดาเดินได้เร็ว 4 กม/ชม
   6 > 4
   แต่สมศักดิ์ใช้เวลา น้อยกว่า สุดา
   

   12/6

   <

   12/4

   
   2 < 3
   กรณีการกลับเศษเป็นส่วน พบอยู่บ้างในข้อสอบ ก.พ.

ลักษณะโจทย์ เงื่อนไขสัญลักษณ์
เงื่อนสัญลักษณ์ จะประกอบด้วย เงื่อนไขจำนวนหนึ่ง และมีข้อสรุปจำนวน 2 ข้อ ผู้เข้าสอบ ต้องพิสูจน์ว่าข้อสรุปแต่ละข้อ เป็นจริงตามเงื่อนไขหรือไม่ หรือไม่แน่นอน แล้วจึงเลือกตอบให้ถูกต้อง เช่น ถ้าเป็นจริงทั้งสองข้อ ตอบข้อ 1 เป็นต้น
ตัวอย่างลักษณะโจทย์ เงื่อนไขสัญลักษณ์
เงื่อนไข
A > C > K >B ข้อสรุป
1. K < A
2. A > B

การแก้ปัญหาโจทย์ เงื่อนไขสัญลักษณ์ มีหลักการดังนี้

1. ในกรณีที่เงื่อนไขมีเครื่องหมาย ไม่มากกว่า(≯) หรือ เครื่องหมายไม่น้อยกว่า(≮) ให้แปลงเครื่องหมายดังกล่าวเป็น < หรือ > ดังนี้
   

   แปลงเครื่องหมายไม่มากกว่า(≯) เป็นเครื่องหมาย น้อยกว่าหรือเท่ากับ (≤)
   แปลงเครื่องหมายไม่น้อยกว่า(≮) เป็นเครื่องหมายมากกว่าหรือเท่ากับ (≥)
   แปลงเครื่องหมายไม่มากกว่าหรือเท่ากับ(≱) เป็นเครื่องหมาย น้อยกว่า (<)
   แปลงเครื่องหมายไม่น้อยกว่าหรือเท่ากับ(≰) เป็นเครื่องหมายมากกว่า (>)

   ทั้งนี้เพื่อให้สะดวกในการแก้ปัญหา เช่น
   A > B > C &#8814 D
   เขียนใหม่เป็น
   A > B > C ≥ D
2. ในกรณีที่ โจทย์กำหนดเงื่อนไข ในลักษณะการบวกกัน ให้กระจายการบวกออกเป็นตัวเดี่ยว ๆ เช่น
   P > A+B สามารถกระจายออกได้เป็น
   P > A+B > A (เพราะ A+B ย่อมมากกว่า A) และ
   P > A+B > B
   หรือเขียนเสียใหม่ได้ว่า
   P > A+B > A, B
   นั่นคือ จากเงื่อนไขข้างบนนี้ เราสามารถสรุปได้ว่า
   P > A
   P > B
   P มีค่ามากที่สุด
   จากเงื่อนไขข้างบนนี้ เราไม่สามารถสรุปความสัมพันธ์ ระหว่าง A และ B ได้
   
   P > A+B > C+D สามารถกระจายออกได้เป็น
   P > A+B > A, B > C+D > C,D
   
   นั่นคือ จากเงื่อนไขข้างบนนี้ เราสามารถสรุปได้ว่า
   P > A+B > C
   P > A > C
   P > A
   P > C
   P > B > C
   P > C
   P > D
   P มีค่ามากที่สุด
   เป็นต้น
   จากเงื่อนไขข้างบนนี้ เราไม่สามารถสรุปหาความสัมพันธ์ ระหว่าง A B C และ D ได้ ไม่รู้ว่า อะไรมากกว่าอะไร หรือน้อยกว่าอะไร เพราะ ไม่แน่นอน สรุปไม่ได้ ไม่มีข้อมูลพอเพียงแก่การสรุปนั่นเอง
   
3. ถ้าโจทย์มีมากกว่า 1 เงื่อนไข ให้มองหาตัวเชื่อมในระหว่างเงื่อนไข และทำตัวเชื่อมให้เท่ากันเสียก่อน โดยเพิ่มค่าเชื่อมที่น้อยกว่า ให้เท่ากับตัวเชื่อมที่มากกว่า ด้วยการ คูณ ซึ่งจะทำให้เปรียบเทียบค่าทั้งในเงื่อนไขที่ 1 และ เงื่อนไขที่ 2 ได้ เช่น
   เงื่อนไขที่ 1: A > 3C > 3E > D
   เงื่อนไขที่ 2: F > C > 2B
   
   จะเห็นว่า ทั้งสองเงื่อนไขมีตัวเชื่อมคือ C และค่าของ C ในเงื่อนไขที่ 2 มีค่าน้อยกว่าในเงื่อนไขที่ 1
   ดังนั้นจึงทำค่าของ C ให้เท่ากับ C ในเงื่อนไขที่ 1 โดยการเอา 3 คูณเงื่อนไขที่ 2 ได้ค่าใหม่เป็น
   3F > 3C > 6B
4. ในการหาคำตอบ ให้ดูข้อสรุปของโจทย์เป็นหลัก เช่น
   
   เงื่อนไขที่ 1: A > 3C > 4D > K
   เงื่อนไขที่ 2: 3F > 3C > 6B
   ข้อสรุป: 3F < 5D
   
   โจทย์ต้องการให้พิสูจน์การเปรียบเทียบระหว่าง F กับ D โดย F อยู่ทางซ้ายของเครื่องหมาย และ D อยู่ทางขวาของเครื่องหมาย
   ในการพิสูจน์ ให้เริ่มจาก F ไปหา D เพื่อให้เป็นไปตามรูปแบบตามข้อสรุปของโจทย์ ไม่ควรเริ่มจาก D เพราะจะได้ไม่ต้องสลับที่กันภายหลัง
   จากเงื่อนไข จะเห็นว่า F และ D มีความสัมพันธ์ ดังนี้
   3F > 3C > 4D
   ดังนั้น สรุปได้คือ 3F > 4D
   แต่โจทย์ต้องการเปรียบเทียบ 3F กับ 5D
   ในที่นี้ เรามี 3F ซึ่งเท่ากับค่าที่อยู่ในข้อสรุปของโจทย์แล้ว และเรายังรู้ว่า มีค่ามากกว่า 4D แต่โจทย์ต้องการเปรียบเทียบกับ 5D
   ดังนั้น ให้เอาสิ่งที่ข้อสรุปของโจทย์ที่ต้องการเปรียบเทียบ (ซึ่งก็คือ 5D) มาวางต่อท้าย 4D เพื่อเปรียบเทียบกัน ดังนี้
   3F > 4D     5D
   จากนั้น ใส่เครื่องหมายเปรียบเทียบกับค่าที่มีอยู่แล้ว เนื่องจาก 5D มากกว่า 4D จึงเขียนได้ ดังนี้
   3F > 4D > 5D
   ดังนั้นผลจากการพิสูจน์ จึงสรุปได้ว่า 3F > 5D
   เมื่อดูข้อสรุปที่ได้ กับข้อสรุปของโจทย์ ที่ว่า 3F < 5D จึงพบว่า ข้อสรุปของโจทย์ เป็นเท็จ
5. ในกรณีที่ปรับตัวเชื่อมให้เท่ากันแล้ว แต่พบว่า ไม่มีตัวใดเลยที่เท่ากับข้อสรุปของโจทย์ เราต้องทำตัวใดตัวหนึ่งให้เท่ากับที่มีในเงื่อนไขของโจทย์ จากนั้น จึงเพิ่มตัวที่เหลือในข้อสรุปของโจทย์ และใส่เครื่องหมายเพื่อเปรียบเทียบ เช่น
   
   เงื่อนไขที่ 1: A > 3C > 4D > K
   เงื่อนไขที่ 2: 3F > 3C > 6B
   ข้อสรุป: F < 5D
   
   จากเงื่อนไข เห็นมีตัวเชื่อม 3C จึงสามารถสรุปความสัมพันธ์ของ F และ D จากเงื่อนไข ได้ดังนี้
   3F > 3C > 4D (เริ่มจาก F ไปหา D ตามลักษณะในข้อสรุปของโจทย์)
   ดังนั้น 3F > 4D
   จะเห็นว่า ข้อสรุปต้องการทราบผลการเปรียบเทียบของ F กับ 5D เราจึงต้องทำ ค่าใดค่าหนึ่ง ให้เท่ากับข้อสรุปของโจทย์
   ในที่นี้ จะทำค่า 3F ให้เป็น 1F โดยการใช้ 3 หาร ซึ่งจะได้ผล ดังนี้
   (

   3F/3

   ) > (

   4D/3

   )
   F > (

   4D/3

   )
   เมื่อได้ค่า F ตรงตามที่ข้อสรุปโจทย์ต้องการแล้ว เราจะนำข้อสรุปตัวที่เหลือมาวางด้านตรงข้ามกับค่าที่มีอยู่แล้ว ดังนี้
   F > (

   4D/3

   )     5D
   
   จากนั้นจึงใส่เครื่องหมายเปรียบเทียบ ซึ่งพบว่า 5D มีค่ามากกว่า (

   4D/3

   ) (เพราะ 5 มีค่ามากกว่า

   4/3

   ซึ่งเท่ากับ 1.33 นั่นเอง) หรือ (

   4D/3

   ) มีค่าน้อยกว่า 5D จึงได้ดังนี้
   F > (

   4D/3

   ) < 5D
   จะเห็นว่า ทิศทางของเครื่องหมาย สวนทางกัน ดังนั้น จึงสรุปไม่ได้ว่าอะไรเป็นอะไร เพราะ 5D มากกว่า (

   4D/3

   ) และ อาจจะมากกว่า F หรือน้อยกว่า F ก็ได้ จึงสรุปไม่ได้
   ดังนั้น จึงทำให้ข้อสรุปของโจทย์ที่ว่า F < 5D จึงสรุปไม่ได้ เพราะ F อาจจะมากกว่า 5D ก็เป็นไปได้ ตามที่เราพิสูจน์แล้ว
   สรุปว่า ข้อสรุปของโจทย์ที่ว่า F < 5D คือ สรุปไม่ได้
6. เทคนิคเพิ่มเติม
   1. ถ้าการเปรียบเทียบ มีเครื่องหมายไปในทิศทางเดียวกัน เราสามารถสรุปได้ เช่น
      A > B > C > D
      สรุปว่า A > D เป็นจริง
      A < B < C < D
      สรุปว่า A < D เป็นจริง
      
   2. ในกรณีที่มีเครื่องหมายเท่ากับ ก็สามารถข้ามไปได้เลย เช่น
      A > B > C = D > G
      สามารถสรุปว่า A > D เป็นจริง
      สามารถสรุปว่า A > G เป็นจริง
      
   3. ในกรณีที่มีเครื่องหมายมากกว่าหรือเท่ากับ (≥) หรือ น้อยกว่าหรือเท่ากับ(≤) รวมอยู่ด้วย ความสัมพันธ์ด้านความเท่ากันระหว่างคู่ที่เปรียบเทียบซึ่งมีเครื่องหมายอื่นมาคั่น จะหายไป เช่น
      A > B > C ≥ D > G
      สามารถสรุปว่า A ≥ D เพราะความเท่ากันหายไปแล้ว ระหว่าง A กับ B และ B กับ C
      เราไม่สามารถสรุปว่า A ≥ G แต่สามารถสรุปได้ว่า A > G
      
   4. ถ้าการเปรียบเทียบ มีเครื่องหมายมากกว่า หรือน้อยกว่า รวมอยู่ด้วยในการเปรียบเทียบชุดเดียวกัน หรือพูดอีกอย่างว่า เครื่องหมายหันไปคนละทางกัน หรือสวนทางกัน เราไม่สามารถสรุปได้ เช่น
      A > B > C < D
      เราไม่สามารถสรุปความสัมพันธ์ระหว่าง A และ D หรือ ความสัมพันธ์ระหว่าง B กับ D ได้
      ถ้าเป็นโจทย์ ก.พ. ให้หาความสัมพันธ์ในลักษณะนี้ คำตอบคือ สรุปไม่ได้ (แต่ต้องระวัง ถ้าเป็นความสัมพันธ์ระหว่าง C กับ D หรือ A กับ C ก็หาได้นะครับ)
   5. ในกรณีที่ ข้อสรุปของโจทย์ ดูซับซ้อน เช่น มีเครื่องหมายบวก ลบ รวมอยู่ด้วย อาจจะพิสูจน์จากข้อสรุป แล้วไปเปรียบเทียบกับเงื่อนไขว่า เป็นจริงตามเงื่อนไขหรือไม่
7. การตัดสินข้อสรุปของโจทย์
   หลังจากที่เราได้ผลลัพธ์จากพิสูจน์เงื่อนไขแล้ว จึงนำมาเปรียบเทียบกับ ข้อสรุปของโจทย์ และตัดสินข้อสรุปของโจทย์ว่า เป็นจริง เป็นเท็จ หรือ ไม่แน่นอน เพื่อนำไปสู่การเลือก ตัวเลือกที่เกี่ยวข้องต่อไป ดังตารางข้างล่างนี้
   ข้อสรุปโจทย์ผลที่ได้จากการพิสูจน์A>B A≥B A<B A≤B A=B เครื่องหมายสวนกัน A>Bจริงไม่แน่เท็จเท็จเท็จไม่แน่A≥Bจริงจริงเท็จเท็จจริงไม่แน่A<Bเท็จเท็จจริงไม่แน่เท็จไม่แน่A≤Bเท็จเท็จจริงจริงจริงไม่แน่A=Bเท็จไม่แน่เท็จไม่แน่จริงไม่แน่A≠Bจริงไม่แน่จริงไม่แน่เท็จไม่แน่หมายเหตุ
   1. กรณี มากกว่าหรือเท่ากับ (≥) เช่น A ≥ B สามารถพูดได้ว่า "A มากกว่า B หรือ A เท่ากับ B" ซึ่งเรียกว่า ประพจน์ความรวม (Compound statement) ที่เป็น Disjunction หรือเชื่อมกันด้วย OR
      ความเป็นเท็จ จะมีกรณีเดียวคือ เมื่อทั้งคู่เป็นเท็จเท่านั้น นอกจากนั้นเป็นจริงทั้งหมด ดังตาราง
      กำหนดให้
      p: A มากกว่า B
      q: A เท่ากับ B
      pqp∨qจริงจริงจริงจริงเท็จจริงเท็จจริงจริงเท็จเท็จเท็จ
      ดังนั้นเมื่อเราพิสูจน์ได้ว่า ประพจน์ใดประพจน์หนึ่งเป็นจริง ประพจน์ความรวมก็เป็นจริง เช่น
      ถ้าโจทย์ให้ข้อสรุปว่า A ≥ B
      ถ้าผลการพิสูจน์ของเราได้ A > B ก็สรุปได้ว่า A ≥ B เป็นจริง
      หรือ ถ้าผลการพิสูจน์ของเราได้ว่า A=B ก็สรุปได้ว่า A ≥ B เป็นจริง เช่นกัน
      แต่ถ้าผลการพิสูจน์พบว่า A < B อย่างนี้ก็แสดงว่า ข้อสรุปเป็นเท็จ
   2. กรณี น้อยกว่าหรือเท่ากับ (≤) ก็ทำนองเดียวกัน กับ มากกว่าหรือเท่ากับ
   3. กรณีที่มีเครื่องหมายสวนทางกัน เช่น A > B < C เราไม่สามารถหาความสัมพันธ์ ระหว่าง A และ C ได้ แต่เรารู้ว่า A > B และ B < C

ฝึกทำแบบฝึกหัด เงื่อนไขสัญลักษณ์ คลิกที่นี่


อ้างอิง
//www.mathsisfun.com/algebra/inequality-properties.html
//people.sju.edu/~pklingsb/ineq.pdf //www.mathgoodies.com/lessons/vol9/disjunction.html