การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย
การเคลื่อนที่ของวัตถุติดสปริงบนพื้นราบ
ในรูป วางมวลไว้บนพื้นราบ ผูกวัตถุเข้ากับปลายหนึ่งของสปริงโดยที่อีกปลายหนึ่งของสปริงผูกติดกับผนัง วัตถุจะอยู่นิ่งๆ บนพื้นในตำแหน่งสมดุล เมื่อดึงวัตถุออกจากตำแหน่งสมดุลแล้วปล่อยให้วัตถุเคลื่อนที่บนพื้นราบ วัตถุจะเคลื่อนที่กลับไปกลับมาผ่านตำแหน่งสมดุลและซ้ำเส้นทางเดิมการเคลื่อนที่ในลักษณะนี้มีจำนวนมาก เช่น การสั่นของสายไวโอลินเมื่อถูกสี การสั่นของกลองเมื่อถูกตี การเคลื่อนที่ของวัตถุที่ติดปลายลวดสปริง การเคลื่อนที่ของโมเลกุลอากาศเมื่อเคลื่อนเสียงส่งผ่าน การเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนในสายอากาศของเครื่องส่งวิทยุ เป็นต้น ปริมาณที่สำคัญอย่างหนึ่งของการเคลื่อนที่ในลักษณะนี้ คือ ความถี่ ซึ่งหมายถึงจำนวนรอบของการเคลื่อนที่ใน 1 วินาที แทนสัญลักษณ์ f มีหน่วยเป็นเฮิรตซ์ (Hz) ซึ่ง 1 Hz =
ความถี่จะเป็นส่วนกลับกับคาบ ดังสมการ คาบคือ เวลาในการเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ ใช้สัญลักษณ์ T แทนคาบ คาบมีหน่วยเป็นวินาที (s)
การเคลื่อนที่ใดๆ ซึ่งเคลื่อนที่กลับไปมาซ้ำทางเดิม โดยผ่านตำแหน่งสมดุลและคาบของการเคลื่อนที่คงตัว ดังแสดงด้วยกราฟของการเคลื่อนที่ในแนวแกน x ดังรูป เรียกว่า การเคลื่อนที่แบบพีริออดิก(periodic motion)
กราฟของการเคลื่อนที่แบบพีริออดิก ทางแกน x
การเคลื่อนที่แบบพีริออดิกชนิดหนึ่งที่กราฟของการกระจัดกับเวลาอยู่ในรูปของฟังก์ชันไซน์หรือโคไซน์ความถี่คงที่มีค่าที่แน่นอนค่าเดียว เรียกว่า การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย (simple harmonic motion) นั่นคือ การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายเป็นการเคลื่อนที่แบบพีริออดิกอย่างหนึ่ง อาจจะเรียกย่อๆ ว่า การเคลื่อนที่แบบ SHM การกระจัดทาง x ในรูปฟังก์ชันของเวลา t ของ SHM โดยทั่วไปเขียนเป็นสมการได้เป็น
ซึ่ง
ถ้า
จากสมการ เมื่อเขียนกราฟระหว่างการกระจัดกับเวลา โดยมี
กราฟระหว่างการกระจัดกับเวลาของฟังก์ชันรูปไซน์
สรุปได้ว่า
สำหรับ การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย คือการเคลื่อนที่ซึ่งมีการกระจัดเป็นฟังก์ชันของเวลาเป็นฟังก์ชันรูปไซน์การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายเทียบกับการเคลื่อนที่เป็นวงกลม
ถ้านำดินน้ำมันก้อนโตพอเหมาะติดไว้ที่ขอบวงล้อกลมหรือแผ่นไม้วงกลมซึ่งหมุนได้คล่องในแนวระดับ เมื่อหมุนวงล้อให้อัตราเร็วเชิงมุมสม่ำเสมอ ดินน้ำมันจะเคลื่อนที่ในแนววงกลมด้วยอัตราเร็วสม่ำเสมอด้วย เมื่อฉายลำแสงขนานในแนวระดับไปที่ดินน้ำมัน เงาของดินน้ำมันจะปรากฏบนฉากข้างหลัง โดยการเคลื่อนที่ของเงาจะกลับไปกลับมาในแนวตรงเป็นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย
การฉายแสงผ่านวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นวงกลม ปรากฏเงาบนฉากเป็น SHM
เงาบนฉากของวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นวงกลม ก็เหมือนกบการคิดองค์ประกอบทาง x ของการเคลื่อนที่ของจุดๆ หนึ่งเป็นวงกลมบนระนาบ xy ให้ที่ขณะหนึ่งจุดนั้นอยู่ที่ตำแหน่งมุม
และองค์ประกอบของความเร็วบนแกน x คือ
จุด P เคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอบนระนาบ xy
จากความเร่งในทิศเข้าหาจุดศูนย์กลางมีขนาดเท่ากับ
จะได้องค์ประกอบของความเร่งบนแกน x คือ
จะเห็นว่าตำแหน่งทาง x ในสมการ เป็นอย่างเดียวกับสมการเมื่อ
ซึ่งเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย และเมื่อนำมาใช้ในสมการ จะทำให้ได้ว่า
แสดงลักษณะสำคัญประการหนึ่งของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย นั่นคือ การมีความเร่งเป็นปฎิภาคกับการกระจัดแต่มีทิศตรงกันข้าม เนื่องจาก
สำหรับการเคลื่อนที่ของดินน้ำมันไปตามแนววงกลม เมื่อเคลื่อนที่ครบ 1 รอบใช้เวลาที่เรียกว่าหนึ่งคาบ (period) หรือ T หนึ่งรอบหมายถึงดินน้ำมันจะเคลื่อนที่ไป
เรเดียน ดังนั้นอัตราเร็วเชิงมุม
ของการเคลื่อนที่เป็นวงกลมจึงมีค่าเท่ากับ
ส่วนเงาของดินน้ำมันที่เคลื่อนที่กลับไปกลับมารอบตำแหน่งสมดุลจะมีความถี่ของการเคลื่อนที่เป็น
มีหน่วยเป็นรอบต่อวินาทีหรือเฮิรตซ์ (hertz, Hz) ความถี่เชิงมุม (
) ของการเคลื่อนที่แบบ SHM มีค่าเป็น
ซึ่งมีค่าเหมือนกับอัตราเร็วเชิงมุม
และมีหน่วยเป็นเรเดียนต่อวินาทีเช่นเดียวกัน
การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายของรถติดสปริง
เมื่อดึงรถทดลองให้สปริงยึดและรถออกจากตำแหน่งสมดุลเป็นระยะ A จะได้การกระจัดของรถทดลองมีค่า A และมีแรง
ของสปริงดึงรถทดลองไปทางซ้าย ก. แรงนี้เรียกว่า แรงดึงกลับ (restoring force) มีค่าตาม
ซึ่งแสดงว่าขนาดและแรงดึงกลับแปรผันตรงกับระระยืดหรือหดของสปริงหรือขนาดการกระจัด แต่แรงดึงกลับ
โดย k เป็นค่าคงตัวของสปริง
เมื่อปล่อยมือ แรง
จากนั้นรถทดลองจะเคลื่อนที่ออกจากตำแหน่งสมดุลไปทางซ้ายต่อไปอีก และอัดลวดสปริงให้หดสั้น ลวดสปริงก็จะออกแรง
มีทิศไปทางขวาต้านการเคลื่อนที่ของรถทดลอง ในขณะนี้รถทดลองจะเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง
กราฟของการกระจัดของเวลาสำหรับหนึ่งรอบของการเคลื่อนที่
เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ของรถทดลองติดปลายสปริงที่เคลื่อนที่ แรงที่สปริงกระทำต่อรถทดลองจะมีค่าเป็น F = - kx ถ้าให้ m เป็นมวลของรถทดลอง และ a เป็นความเร่งของรถทดลอง จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ของนิวตัน
นั่นคือ การเคลื่อนที่ของรถทดลองติดสปริงเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่าง่ายเช่นเดียวกับการเคลื่อนที่ของเงาของดินน้ำมัน มีความเร่งแปรผันตรงกับการกระจัด แต่มีทิศตรงกับข้าม เทียบสมการ จะเห็นว่า ความเร่งคือ
ความถี่เชิงมุมของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย มีความสัมพันธ์กับค่าคงตัวของสปริง และมวลของวัตถุที่ติดกับสปริง ดังสมการ
การแกว่งของลูกตุ้มอย่างง่าย
ลูกตุ้มอย่างง่ายคือ ลูกตุ้มที่ประกอบด้วยมวลขนาดเล็ก ตามอุดมคติเป็นจุด แขวนที่ปลายด้ายหรือเชือกอ่อน โดยธรรมชาติวัตถุแขวนห้อยในแนวดิ่งเป็นตำแหน่งสมดุล เมื่อดึงวัตถุให้เอียงทำมุมเล็กๆ
กับแนวดิ่งแล้วปล่อยให้วัตถุเคลื่อนที่แกว่งกลับไปมา ซึ่งจะพิสูจน์ได้ว่าเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย
ขณะเส้นเชือกเอียงทำมุมกับแนวดิ่งมีแรงกระทำเข้าหาจุดสมดุล
ขณะที่ปล่อยลูกตุ้มมวล m ซึ่งผูกกับเส้นเชือกยาว
เนื่องจากแรง
mg สามารถคิดแยกออกเป็น 2 แรงในแนวตั้งฉากกัน ดังรูป จะเห็นว่าแรง
ถ้ามุม
จะเห็นว่า ความเร่งของลูกตุ้มแปรผันตรงกับการกระจัด และมีทิศตรงกันข้ามการแกว่งของลูกตุ้มจึงเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายด้วย
อาจนับว่าเป็นสมการที่ทำนายคาบของลูกตุ้มอย่างง่ายจากที่ได้วิเคราะห์มาตามหลักการของการเคลื่อนที่ที่ต้องเป็นไปตามกฎของนิวตัน คาบของการแกว่งจริงจะเป็นอย่างไร จะศึกษาจากการทดลองดังภาคการทดลองต่อไป