คำตอบของสมการ y + 4 4 + y คือข้อใด

ก่อนจะไปถึงเรื่องการแก้สมการ เราต้องมาทบทวนความหมายของคำว่าสมการกันก่อน “สมการ” ก็คือ ประโยคสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ ที่ใช้แสดงถึงความเท่ากันของจำนวน โดยมีเครื่องหมายเท่ากับ (=) เป็นตัวเชื่อม ซึ่งสมการนั้นจะมีหรือไม่มีตัวแปรก็ได้ เช่น 3 + 5  =  8, 15 – x = 13 เป็นต้น

ชนิดของสมการ

“สมการ” สามารถแบ่งออกเป็น 3 ชนิด ได้แก่

1. สมการที่เป็นจริง : สมการที่มีจำนวนด้ายซ้ายและด้านขวาเท่ากัน เช่น

3 + 2  =  5
5 x 4  =  20
X – X  =  0 
144/12  =  12 

ตัวอย่างสมการที่ยกตัวอย่างมานั้น เป็นสมการที่เป็นเอกลักษณ์ ซึ่งแปลว่าสมการจะเป็นจริงโดยไม่ต้องมีการแทนค่าใดๆลงในตัวแปรเลย 

1. สมการที่เป็นเท็จ : สมการที่มีจำนวนด้านซ้ายและด้านขวาไม่เท่ากัน เช่น
   

3 + 5  =  10
9 – 2   =  8
5 x 3  =  16 
24/4  = 11 

1. สมการที่มีตัวแปรไม่ทราบค่า : ก็คือสมการที่มีตัวแปรไม่ทราบค่า สมการจะเป็นจริงแค่เพียงค่าเดียว และเป็นเท็จเมื่อแทนค่าอื่นๆ นอกเหนือจากค่านั้น เช่น

2 + X  =  5 ถ้าเราแทน X ด้วย 3
สมการก็จะเป็นจริง แต่ถ้าเราแทนด้วยค่าอื่นๆ
ก็จะทำให้สมการเป็นเท็จ เราเรียกจำนวนที่แทนตัวแปรในสมการที่ทำให้สมการเป็นจริงว่า
“คำตอบของสมการ” หรือ “รากของสมการ” 

การแก้สมการ

“การแก้สมการ” ก็คือ การหาคำตอบของสมการซึ่งจะทำให้สมการนั้นเป็นจริง
ซึ่งแบ่งออกเป็นสองวิธีด้วยกัน คือ

• การแทนค่าตัวแปร เป็นวิธีทดลองแทนค่าของตัวแปรในสมการ ถ้าจำนวนใดนำมาแทนค่าแล้วทำให้สมการเป็นจริง แสดงว่าจำนวนนั้นเป็นคำตอบของสมการ เช่น 

ตัวอย่าง

สมการ     5X + 2       =    12

ถ้าแทนค่า
X = 2   5(2) + 2      =   12 สมการเป็นจริง

ดังนั้นคำตอบของสมการนี้ คือ 2 

ถ้าแทนค่า
X = 3   5(3) + 2 =  12 สมการเป็นเท็จ

ดังนั้น  3 ไม่ใช่คำตอบของสมการ 

• การใช้คุณสมบัติของการเท่ากัน เป็นการนำคุณสมบัติการเท่ากันทั้งในเรื่อง การบวก การลบ การคูณและการหารมาใช้ในการแก้สมการ 

( ใส่รูป 1 )

ในการเรียนเรื่องสมการ เราจะพบสมการที่มีตัวแปรไม่ทราบค่าอยู่เสมอ ซึ่งในชั้นมัธยมต้น เราจะได้ทำความรู้จักกับสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวและสมการเชิงเส้นสองตัวแปร มาดูกันว่าสมการทั้งสองแบบแตกต่างกันอย่างไร 

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

“สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว” คือ สมการที่มีตัวแปรไม่ทราบค่าและเลขชี้กำลังของตัวแปรเป็น 1 ตัวแปรอาจจะมีอยู่ข้างใดข้างหนึ่งของเครื่องหมายเท่ากับ ( = ) หรืออาจจะมีอยู่ทั้งสองข้างเลยก็ได้ ถ้าจัดให้อยู่ในรูปผลสำเร็จจะได้ว่า

ax + b = 0 
โดยที่ x เป็นตัวแปร, a และ b เป็นค่าคงที่ และ a 0 

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวจะมีคำตอบเพียงค่าเดียวเท่านั้น ซึ่งก็คือ จำนวนที่เมื่อนำไปแทนค่าตัวแปรในสมการแล้ว ทำให้สมการนั้นเป็นจริง 

( ใส่รูป 2 )

การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว จะต้องใช้สมบัติการเท่ากันของจำนวน ที่บอกว่าจำนวนสองจำนวนที่เท่ากัน เมื่อเพิ่มหรือตัดออกเท่ากันย่อมเท่ากัน ซึ่งสมบัติการเท่ากัน ได้แก่ ( ใส่รูป 3 )

วิธีการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 

มีหลักการดังนี้ 

• พยายามทำให้เป็นผลสำเร็จ โดยจัดให้ตัวแปรและค่าคงตัวอยู่คนละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ (=) 
• เมื่อไหร่ที่มีวงเล็บ ต้องถอดวงเล็บทิ้งไป โดยต้องไม่ลืมเปลี่ยนเครื่องหมายจำนวนในวงเล็บ เมื่อหน้าวงเล็บมีเครื่องหมาย “ – “ 
• การแก้สมการเศษส่วน เมื่อจำนวนส่วนมากอยู่ในรูปเศษส่วน ต้องทำให้ส่วนหมดไปโดยการนำ ค.ร.น. ของส่วนทั้งหมดคูณไปตลอดสมการนั้น 

( ใส่รูป 4 )

โจทย์สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

โจทย์สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว จะมีข้อความที่ไม่ทราบค่าอยู่และมีข้อความที่เกี่ยวข้องอีกหลายประโยคอยู่ในนั้นด้วย ซึ่งจะมีความสัมพันธ์กับข้อความนั้นๆทั้งทางตรงและทางอ้อม การแก้ปัญหาโจทย์สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ก็คือ การหาคำตอบของโจทย์ โดยใช้วิธี กำหนดตัวแปรแทนข้อความที่ไม่ทราบค่า
เรานิยมใช้ X เป็นตัวแปร แล้วสร้างเป็นสมการขึ้น 

ตัวอย่าง

นายเอมีเงินมากกว่านายบีอยู่ 12 บาท นายเอและนายบีมีเงินรวมกันอยู่ 88 บาท นายเอมีเงินเท่าไหร่ 

วิธีทำ สมมติให้นายเอมีเงิน X บาท 

เราจะได้ว่า นายบีมีเงิน X – 12 บาท

นายเอและบีมีเงินรวมกัน 88 บาท

สมการที่ได้คือ   X + (X – 12)  =  88

  2X – 12      = 88

2X     =  88+12

X       =  100/2  =  50

ตอบ นายเอมีเงิน 50 บาท 

หลักในการแก้โจทย์ปัญหาสมการทั่วๆไป 

• อ่านโจทย์แล้วกำหนดตัวแปรแทนข้อความที่ยังไม่ทราบค่า อาจจะมีข้อความเดียวหรือหลายข้อความ โดยมากจะกำหนดตัวแปรตรงข้อความที่โจทย์ถาม แต่ไม่ทุกครั้ง สิ่งที่ต้องระวังคือ เวลาตอบต้องไปตอบเป็นค่าตัวแปร แต่จะต้องนำค่าตัวแปรไปแทนข้อความที่โจทย์ถาม 
• เรามักกำหนดตัวแปรแทนข้อความที่ไม่ทราบค่าซึ่งมีอยู่หลายข้อความในโจทย์ 
• เครื่องหมายเท่ากับ (=) มักมาจากข้อความ เป็น, อยู่, จะได้หรือได้, เท่ากับ, รวมกับ, ต่างกัน หรือมาจากการสร้างความสัมพันธ์ระหว่างข้อความ 
• ระมัดระวังในการใช้เครื่องหมาย เพื่อไม่ให้ตั้งสมการผิด
• ต้องพิจารณาว่าโจทย์ถามอะไร แล้วใส่ตัวแปรแทนข้อความ ใส่หน่วยของตัวแปร แล้วนำตัวแปรไปสร้างความสัมพันธ์ในรูปสมการ เมื่อได้คำตอบของสมการ ต้องสังเกตว่าคำตอบสอดคล้องกับโจทย์หรือไม่ ถ้าไม่อาจเกิดความผิดพลาดที่ใดที่หนึ่ง เช่น คิดเลขผิด เข้าสมการไม่ถูก ลืมเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นต้น 

ตัวอย่าง 

นายเอมีเงินมากว่านายบี 320 บาท แต่นายบีมีเงินน้อยกว่านายซี 125 บาท ทั้งสามคนมีเงินรวมกัน 1,000 บาท แต่ละคนมีเงินเท่าไหร่ 

( ใส่รูป 5 )

สมการเชิงเส้นสองตัวแปร

“สมการเชิงเส้นสองตัวแปร” คือ สมการของความสัมพันธ์เชิงเส้นที่แสดงความเกี่ยวข้องระหว่างปริมาณสองชุด หรือตัวแปรสองตัวตามชื่อของมัน โดยใช้ตัวแปร x และ y ที่มีดีกรี 1 และมีรูปทั่วไปของสมการคือ 

Ax + By + C = 0 

เมื่อ x, y เป็นตัวแปร, 

A,B,C เป็นค่าคงที่ 

A และ B ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกัน 

ข้อสังเกตของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

• มีตัวแปรสองตัว คือ x และ  y 
• ไม่มี xy หรือการคูณกันของตัวแปร
• เลขชี้กำลังของตัวแปรเป็น 1 (ดีกรี1)
• สัมประสิทธิ์ของตัวแปรไม่เป็น 0 พร้อมกัน เมื่อ A = 0 สมการจะอยู่ในรูป By + C = 0 
• ถ้าไม่ได้ระบุเงื่อนไขของ x และ y ให้ x และ y เป็นจำนวนจริงใดๆ
• กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรเป็นเส้นตรง จึงเรียกว่า กราฟเส้นตรง เช่น  2x + y – 4 = 0 

การแก้สมการเชิงเส้นสองตัวแปร (การแก้สมการ x,y)

“การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร”เป็นการแก้สมการเพื่อหาคำตอบของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ซึ่งได้แก่ คู่อันดับ (x,y) เมื่อนำค่า x และ y ไปแทนค่าในสมการทั้งสองจะทำให้ระบบสมการเป็นจริง
สามารถทำได้สองวิธี คือ 

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยใช้กราฟ

เราจะวาดกราฟขึ้นมาเพื่อหาคำตอบของสมการ โดยจุดตัดของกราฟก็คือคำตอบของสมการนั่นเอง 

( ใส่รูป 6 )

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยใช้วิธีการทางพีชคณิต แบ่งเป็นสองวิธี คือ 

1. วิธีแทนค่าตัวแปร : ทำได้โดยการจัดการสมการให้มีตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งอยู่ตัวเดียวในด้านใดด้านหนึ่ง จากนั้นนำค่าตัวแปรแทนในสมการ เพื่อหาค่าตัวแปร นำคำตอบที่ได้ไปแทนในสมการเริ่มต้นของโจทย์อีกครั้งเพื่อหาคำตอบของตัวแปรที่เหลือ 

( ใส่รูป 7 )

1. วิธีจัดการตัวแปร : เลือกกำจัดตัวแปรใดตัวแปรหนึ่ง แล้วหาค่าอีกตัวหนึ่ง เมื่อได้คำตอบ ก็นำคำตอบไปแทนค่าในสมการ เพื่อหาค่าของตัวแปรที่เหลือ 

( ใส่รูป 8 )

โจทย์สมการเชิงเส้นสองตัวแปร

โจทย์สมการเชิงเส้นสองตัวแปรจะซับซ้อนกว่าโจทย์สมการตัวแปรเดียว เราจะต้องวิเคราะห์ว่าโจทย์ถามอะไรและต้องการอะไร และแปลงโจทย์ปัญหานั้นให้เป็นสมการ 2 สมการขึ้นไป แก้สมการเพื่อหาคำตอบ 

ตัวอย่าง

ในการแข่งขันฟุตบอลรอบชิงชนะเลิศ มีผู้เข้าชมการแข่งขันซื้อบัตรผ่านประตูจำนวน 610 คน บัตรผ่านประตูมีสองราคา คือ 100 บาทและ 50 บาท ปรากฎว่าเก็บค่าผ่านประตูได้เป็นเงิน 45,200 บาท อยากทราบว่าสามารถขายบัตรราคา 100 บาทและ 50 บาทไปอย่างละกี่ใบ

วิธีทำ  

กำหนดให้จำนวนบัตรราคา 100 บาทที่ขายได้ = x

และจำนวนบัตรราคา 50 บาทที่ขายได้ = y

มีผู้เข้าชมการแข่งขันฟุตบอลซื้อบัตรผ่านประตู 610 คน

เขียนเป็นสมการได้ว่า x + y  =  610 —— (1) 

บัตรใบละ 100 บาท สามารถขายได้ 100x บาท และ

บัตรใบละ 50 บาท สามารถขายได้ 50y บาท

ขายบัตรได้เงินทั้งสิ้น  42,500 บาท

เขียนเป็นสมการได้ว่า  100x + 50y  = 45,200 —- (2)

เริ่มนำสมการทั้งสองมาแก้สมการ 

นำสมการที่ (1) มาคูณด้วย 50 ค่าสัมประสิทธ์ตัวแปรจะได้เท่ากัน เพื่อแก้สมการ จะได้ว่า 

50x + 50y    =    30,500  ——— (3) 

นำสมการที่ (2) – (3) จะได้ 

100x + 50y – 50x – 50y  = 45,200 – 30,500

50x = 14,700

x = 14,700/50 

x = 294

นำคำตอบที่ได้ คือ x = 294 ไปแทนค่าในสมการที่ (1) 

294 + y  =  610

y  = 610 – 294

y = 316

คำตอบคือ บัตรราคา 100 บาท ขายได้ 294 ใบ และบัตรราคา 50 บาท ขายได้ 316 ใบ

การแก้สมการเป็นเรื่องที่เข้าได้ไม่ยาก แต่มีขั้นตอนและเทคนิคที่น้องๆ ต้องฝึกฝนทำโจทย์และแบบฝึกหัดอย่างสม่ำเสมอ เพื่อเรียนรู้วิธีการในการแก้โจทย์ที่พลิกแพลงได้ พี่ At Home มีคอร์สเรียนน่าสนใจเรื่องการแก้สมการ ที่จะช่วยตะลุยโจทย์การแก้สมการไปด้วยกัน พร้อมแนะเทคนิคและวิธีลัดมากมาย หรือใครอยากเรียนตั้งแต่เริ่มต้น ปูพื้นฐานเรื่องสมการ At Home ก็จัดให้ได้ ลองเข้าไปเลือกคอร์สที่เหมาะกับน้องๆได้เลย