Probability
ความน่าจะเป็น
นายสิทธิพล พุทสิริ ม.4/8 เลขที่15
เสนอ
ครูรสชกร บุบผาคำ
ความน่าจะเป็น
PROBABILITY
01 เนื้อหา
หลักการบวก
หลักการคูณ
แฟกทอเรียล
การเรียงสับเปลี่ยน
การทดลองสุ่ม
แซมเปิลสเปซ
เหตุการณ์
02 แบบฝึกหัด
03 แบบทดสอบ
นายสิทธิพล พุทสิริ ม.4/8 เลขที่15
เนื้อหา
คณิตศาสตร์ ม.4
คณิตศาสตร์ ม.4 ความน่าจะเป็น
PROBABILITY
หลักการบวก
ถ้าการทำงานหนึ่งมีวิธีการทำงาน k วิธี คือ วิธีที่ 1 ถึงวิธีที่ k โดยที่
การทำงานวิธีที่ 1 มีวิธีทำ n1 วิธี
การทำงานวิธีที่ 2 มีวิธีทำ n2 วิธี
::
การทำงานวิธีที่ k มีวิธีทำ nk วิธี
และวิธีการทำงานแต่ละวิธีแตกต่างกัน แล้วจำนวนวิธีทำงานนี้เท่ากับ
n1+n2+…+nk วิธี
ตัวอย่าง
นักเรียน 3 คนต้องการเข้าและออกห้องห้องหนึ่งซึ่ง
มีประตู 3 บาน โดยนักเรียนคนที่ 1 เข้าและออกโดยใช้
ประตูบานเดียว นักเรียนคนที่ 2 เข้าและออกโดยไม่ใช้
ประตูบานเดิม และนักเรียนคนที่ 3 เข้าและออกโดยใช้
ประตูบานใดก็ได้ จงหาจำนวนวิธีที่นักเรียนทั้ง 3 คนเข้า
และออกห้องนี้
วิธีทำ นักเรียนคนที่ 1 มีวิธีเข้าและออกได้ 3 วิธี
นักเรียนคนที่ 2 มีวิธีเข้าและออกได้ 6 วิธี
นักเรียนคนที่ 3 มีวิธีเข้าและออกได้ 9 วิธี
ดังนั้น วิธีที่นักเรียนทั้ง 3 คนเข้าและออกห้องนี้มี
ทั้งหมด 3+6+9 = 18 วิธี
นายสิทธิพล พุทสิริ ม.4/8 เลขที่15
คณิตศาสตร์ ม.4 ความน่าจะเป็น
PROBABILITY
หลักการคูณ
ถ้าการทำงานอย่างหนึ่งประกอบด้วยการทำงาน k ขั้นตอน คือ ขั้นตอนที่ 1 ถึง
ขั้นตอนที่ k ตามลำดับ โดยที่
การทำงานขั้นตอนที่ 1 มีวิธีทำ n1 วิธี
การทำงานขั้นตอนที่ 2 มีวิธีทำ n2 วิธี
การทำงานขั้นตอนที่ 3 มีวิธีทำ n3 วิธี
::
การทำงานขั้นตอนที่ k มีวิธีทำ nk วิธี
และวิธีการทำงานแต่ละวิธีแตกต่างกัน แล้วจำนวนวิธีการทำงานนี้เท่ากับ
n1n2n3…nk วิธี
ตัวอย่าง
บริษัทผลิตเสื้อผ้าสำเร็จรูปแห่งหนึ่งผลิตเสื้อ 6
แบบ กางเกง 5 แบบและเนคไท 4 แบบ ถ้าจะจัด
แต่งตัวให้กับหุ่นเพื่อนำไปโชว์หน้าร้าน จะสามารถ
แต่งเป็นชุดต่างๆกันได้กี่ชุด
วิธีทำ ในการแต่งตัวให้กับหุ่นมี 3 ขั้นตอน คือ
ขั้นตอนที่ 1 เลือกเสื้อได้ 6 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกกางเกงได้ 5 วิธี
ขั้นตอนที่ 3 เลือกเนคไทได้ 4 วิธี
ดังนั้น วิธีการแต่งตัวให้กับหุ่นทำได้ทั้งหมด
6×5×4 = 120 วิธี
นายสิทธิพล พุทสิริ ม.4/8 เลขที่15
คณิตศาสตร์ ม.4 ความน่าจะเป็น
PROBABILITY
แฟกทอเรีนล
แฟกทอเรียล คือ ผลคูณของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดตั้งแต่ n ลงไป
หรือก็คือ ผลคูณต่อเนื่องตั้งแต่ 1 ไปถึง ท โดยที่ n แทนเลขที่เป็น
แฟกทอเรียล Factorial ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งจะเขียนเป็น
สัญลักษณ์ n! (อ่านว่า แฟกทอเรียล)
ตัวอย่างเช่น 5! จะอ่านว่า แฟกทอเรียล 5 (Factorial 5) หมายถึง
ผลคูณของจำนวนเต็มบวกทุกตัวเลขตั้งแต่ 5 ลงไป ดังนั้น 5! หรือ
แฟกทอเรียล 5 ก็คือ 5x4x3x2x1 = 120
ตัวอย่าง
0! = 1
1! = 1
2! = 2×1 = 2
3! = 3•2•1 = 6
4! = 4•3•2•1 = 24
5! = 5•4•3•2•1 = 120
6! = 6•5•4•3•2•1 = 720
นายสิทธิพล พุทสิริ ม.4/8 เลขที่15
คณิตศาสตร์ ม.4 ความน่าจะเป็น
PROBABILITY
นายสิทธิพล พุทสิริ ม.4/8 เลขที่15
คณิตศาสตร์ ม.4 ความน่าจะเป็น
PROBABILITY
การเรียงสับเปลี่ยน
กรณีที่ 1 n!
กรณีที่ 1 เป็นโจทย์ที่มีคำว่า แตกต่างกัน / n!
แตกต่างกันหมด จะใช้เป็นการนำเลขใน
โจทย์ที่มีอยู่ตัวเดียว แล้วนำเลขที่ได้มาใส่ n!
แทนตัว ท ใน n! และคำนวณเลขที่ได้
n!
ตัวอย่าง
n!
จัด นร.4คน เพื่อยืนถ่ายรูปในแนวตรงได้
ทั้งหมดกี่วิธี n!
วิธีทำ 4! = 4×3×2×1
= 24
มีตัวอักษร A,B,C,D,E,F นำมาเรียงเป็นแถว
จะได้ทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ 6! = 6×5×4×3×2×1
= 720
มีหนังสืออยู่ 3 เล่มที่แตกต่างกันนำมาเรียง
กันจะได้กี่วิธี
วิธีทำ 3! = 3×2×1
=6
นายสิทธิพล พุทสิริ ม.4/8 เลขที่15
คณิตศาสตร์ ม.4 ความน่าจะเป็น
PROBABILITY
การเรียงสับเปลี่ยน Pn,r =
กรณีที่ 2 n!
(n-r)!
กรณีที่ 2 เป็นโจทย์ที่มีคำว่า สุ่ม / เลือก /
หยิบ เป็นการนำเลขในโจทย์ที่มี จำนวนมาก
สุดมาแทนใน (n) และ นำเลขที่มีจำนวนน้อย
สุดมาแทนใน (r) โดยจะใช้ P(n,r)
ตัวอย่าง
จัดนร.8คน เลือกนร.มาช่วยยกของ2คนจะมี
ทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ P8,6 = 8! = 8! = 8×7×6!
(8-2)! 6! 6!
= 8×7 = 56
มีลูกบอลทั้งหมด4สีที่แตกต่างกัน สุ่มหยิบ
มา3ลูกจะมีทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ P4,3 = 4! = 4! = 4×3×2×1!
(4-3)! 1! 1!
= 4×3×2 = 24
นายสิทธิพล พุทสิริ ม.4/8 เลขที่15
คณิตศาสตร์ ม.4 ความน่าจะเป็น
PROBABILITY
การเรียงสับเปลี่ยน
กรณีที่ 3 n!
n!
กรณีที่ 3 เป็นโจทย์ที่มีการซ้ำกันอยู่ จะใช้ n
เป็นการนำเลขในโจทย์ที่มีอยู่ มาบวกกันนะ
ได้ n! ทีเป็นตัวข้างบนแล้วนำเลขที่เป็น
ตัวประกอบในการบวก ท! กันมาใส่ใน n! ที่
อยู่ข้างล่างและคำนวณเลขที่ได้โดยใช้
ตัวอย่าง ×n!...n!
นำตัวอักษรจากคำว่า School มาเรียงสลับใหม่ได้ทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ s = 1 , c = 1 , h = 1 , o = 2 , l = 1
n! = 6! = 6×5×4×3×2!
n!×n!...n! 1!×1!×1!×2!×1! 2!
= 6×5×4×3×2! = 360
มีธงอยู่5สี จำนวน10ผืน ผืนละ2สี มาเรียงสลับในแนวตรงได้
ทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ ส¹ = 2 , ส² = 2 , ส³ = 2 , ส⁴ = 2 ,4ส2⁵ = 2 2
n! = 10! =10×9×8×7×6×5×4×3×2×1
n!×n!...n! 2!×2!×2!×2!×2! 2×2×2×2×2
= 10×9×2×7×6×5×3 = 113,400
นายสิทธิพล พุทสิริ ม.4/8 เลขที่15
คณิตศาสตร์ ม.4 ความน่าจะเป็น
PROBABILITY
การทดลองสุ่ม
การทดลองสุ่ม คือ การทดลองใดๆที่มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้
มากกว่าหนึ่งอย่างทำให้ไม่สามารถบอกผลลัพธ์ที่แน่นอนได้
ล่วงหน้า แต่ทราบผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดถ้าการทดลอง
ใดๆมีผลลัพธ์เกิดขึ้นเพียงอย่างเดียวเท่านั้น หรือ ไม่ทราบ
ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้น เรียกว่า การทดลองที่ไม่ใช่การทดลองสุ่ม
ตัวอย่าง
การโยนเหรียญขึ้นไปในอากาศ เป็นการทดลอง
สุ่ม เพราะเรารู้ขอบเขตของผลลัพธ์ว่าเป็นอย่างไร
ได้บ้างแต่ยังไม่ทราบว่าเหรียญจะหงายหัว
หรือก้อย ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้มากกว่าหนึ่งอย่าง
การทอดลูกเต๋าลงในถ้วย เป็นการทดลองสุ่ม
เพราะเรารู้ขอบเขตของผลลัพธ์ว่าเป็นอย่างไร
ได้บ้างแต่ยังไม่ทราบว่าลูกเต๋าหงายหน้าอะไร
ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้มากกว่าหนึ่งอย่าง
การนำ 2 ไปบวกกับ 3 ไม่เป็นการทดลองสุ่ม
เพราะผลลัพธ์เท่ากับ 5 เพียงอย่างเดียวเท่านั้น
นายสิทธิพล พุทสิริ ม.4/8 เลขที่15
คณิตศาสตร์ ม.4 ความน่าจะเป็น
PROBABILITY
แซมเปิลสเปซ
เซตของผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้ทั้งหมดจากการทดลองสุ่ม
และเป็นสิ่งที่เราสนใจ เรานิยมใช้สัญลักษณ์ S แทนแซมเปิล
สเปซ จากความหมายของแซมเปิลสเปซ แสดงว่า ในการ
ทดลองหรือการกระทำใด ๆ ก็ตาม ผลลัพธ์ที่มีโอกาสจะเกิด
ขึ้นได้ต้องเป็นสมาชิกในแซมเปิลสเปซทั้งสิ้น
ตัวอย่าง
การโยนเหรียญขึ้นไปในอากาศ 2ครั้ง 1เหรียญ
จะได้แซมเปิบสเปซของการโยนเหรียญอย่างไร
แซมเปิลสเปซของการทดลองสุ่ม s = หัวหัว
หัวก้อย ก้อยหัว ก้อยก้อย
ทอยลูกเต๋า1ลูก1ครั้ง จงหาแซมเปิลสเปซของการ
ทอยลูกเต๋า
แซมเปิลสเปซของการทดลองสุ่ม s = 1,2,3,4,5,6
นายสิทธิพล พุทสิริ ม.4/8 เลขที่15
คณิตศาสตร์ ม.4 ความน่าจะเป็น
PROBABILITY
เหตุการณ์ สูตร
ให้ S เป็นแซมเปิลสเปซ ซึ่งแต่ละผลลัพธ์ใน S มี
โอกาสเกิดขึ้นเท่าๆกัน E เป็นสับเซตของ S
ให้ P(E) เป็นสัญลักษณ์แทน ความน่าจะเป็นของ
เหตุการณ์ E เราสามารถหา P(E) ได้ดังนี้
ตัวอย่าง
นายสิทธิพล พุทสิริ ม.4/8 เลขที่15
แบบฝึกหัด
คณิตศาสตร์ ม.4
คณิตศาสตร์ ม.4 ความน่าจะเป็น
PROBABILITY
แบบฝึกหัด
นายสิทธิพล พุทสิริ ม.4/8 เลขที่15
คณิตศาสตร์ ม.4 ความน่าจะเป็น
PROBABILITY
แบบฝึกหัด
นายสิทธิพล พุทสิริ ม.4/8 เลขที่15
คณิตศาสตร์ ม.4 ความน่าจะเป็น
PROBABILITY
แบบฝึกหัด
นายสิทธิพล พุทสิริ ม.4/8 เลขที่15
คณิตศาสตร์ ม.4 ความน่าจะเป็น
PROBABILITY
แบบฝึกหัด
นายสิทธิพล พุทสิริ ม.4/8 เลขที่15
แบบทดสอบ
คณิตศาสตร์ ม.4
คณิตศาสตร์ ม.4 ความน่าจะเป็น
PROBABILITY
แบบทดสอบ
นายสิทธิพล พุทสิริ ม.4/8 เลขที่15
คณิตศาสตร์ ม.4 ความน่าจะเป็น
PROBABILITY
แบบทดสอบ
นายสิทธิพล พุทสิริ ม.4/8 เลขที่15
คณิตศาสตร์ ม.4 ความน่าจะเป็น
PROBABILITY
แบบทดสอบ
นายสิทธิพล พุทสิริ ม.4/8 เลขที่15
THANK YOU
ครูรสชกร บุบผาคำ
นายสิทธิพล พุทสิริ ม.4/8 เลขที่15
ผู้จัดทำ