ลําดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ ม.6 สรุป

สรุปเนื้อหา ลำดับและอนุกรม คืออะไร

ลำดับ หมายถึง ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกที่เรียงจากน้อยไปมากโดยเริ่มตั้งแต่ 1 ซึ่งลำดับนั้น เป็นจำนวนหรือพจน์ที่เขียนเรียงกันภายใต้กฏเกณฑ์อย่างใดอย่างหนึ่งเป็นลำดับทั่ว ๆ ไป โดยแบ่งออกเป็น 2 ชนิด ได้แก่

• ลำดับจำกัด คือ ลำดับซึ่งมีจำนวนพจน์จำกัด โดยฟังก์ชันจะเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น { 1, 2, 3, …, n }
• ลำดับอนันต์ คือ ลำดับซึ่งมีจำนวนพจน์ไม่จำกัด โดยฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น { 1, 2, 3, … }

ลำดับ คือ กลุ่มของตัวเลขที่มีความสัมพันธ์กัน ซึ่งแบ่งออกเป็น 2 รูปแบบใหญ่ ๆ คือ

• ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับที่มีผลต่างของพจน์ที่ n+1 กับพจน์ที่ n โดยมีค่าคงที่เป็นผลต่างร่วม (d)
  ตัวอย่าง
  1, 3, 5, 7, 9 …. มี d = 2
  9, 6, 3, 0, …. มี d = -3
• ลำดับเรขาคณิต คือ ลำดับที่มีอัตราส่วนของพจน์ที่ n+1 กับพจน์ที่ n โดยมีค่าคงที่เป็นอัตราส่วนร่วม (r)
  ตัวอย่าง
  3, 6, 12, 24 …. มี r = 2
  2, -4, 8, -16 … มี r = -2

ลำดับหลายชั้น เป็นลำดับเลขอนุกรม มีค่าความแตกต่างระหว่างตัวเลขมีลักษณะเป็นเลขอนุกรมด้วย

ลำดับเว้นระยะ เป็นลำดับเลขอนุกรม ซึ่งประกอบด้วยอนุกรมมากกว่า 1 ซ้อนกันอยู่ภายในโจทย์เดียวกัน

ลำดับแบบมีค่าแตกต่างเป็นชุด เป็นลำดับอนุกรมที่เกิดจากค่าความแตกต่างที่เป็นชุด คือหลายตัวประกอบขึ้นมาและใช้ค่าแตกต่างที่เป็นชุดดังกล่าวในการพิจารณาเลขอนุกรมลำดับถัดไป

ลำดับยกกำลัง เป็นลำดับเลขอนุกรม ซึ่งเกิดจากการยกกำลังของตัวเลขต่าง ๆ หรืออาจเกิดจากค่าความแตกต่างที่อาจเป็นเลขยกกำลัง

อนุกรม คือ ผลจากการบวกสมาชิกทุกตัวของลำดับไม่จำกัดเข้าด้วยกัน โดยที่

• ถ้า  a1,   a2,   a3,   …,   an   เป็น ลำดับจำกัด ที่มี n พจน์ เราจะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป a1  +  a2  +  a3 +  …  +  an  ว่า  อนุกรมจำกัด 
• และ ถ้า a1, a2, a3, …, an, … เป็น ลำดับอนันต์ จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกในรูป a1 + a2 + a3 + … + an + … ว่า อนุกรมอนันต์

จากอนุกรม a1 + a2 + a3 + … + an + … โดยทั่วไปจะเรียก

• a1 ว่าพจน์ที่ 1 ของอนุกรม
• a2 ว่าพจน์ที่ 2 ของอนุกรม
• a3 ว่าพจน์ที่ 3 ของอนุกรม
• an ว่าพจน์ที่ n ของอนุกรม

อนุกรมเลขคณิต คือ ผลบวกของลําดับเลขคณิต อธิบายได้ว่า

เมื่อ a1, a1 + d, a1 + 2d, …, a1 + (n - 1)d เป็นลำดับเลขคณิต

จะได้ a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + … + (a1 + (n - 1)d) เป็นอนุกรมเลขคณิต

ซึ่งมี a 1 เป็นพจน์แรกของอนุกรม และ d เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิต ซึ่งจากบทนิยามจะได้ว่า

ถ้า a1, a2, a3, …, an เป็น ลำดับเลขคณิต ที่มี n พจน์ เราจะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับ a1 + a2 + a3 + … + an ว่า อนุกรมเลขคณิต และผลต่างร่วม ( d ) ของลำดับเลขคณิต เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิตด้วย

อนุกรมเรขาคณิต คือ ผลบวกของลําดับเรขาคณิต โดยอนุกรมที่ได้จากลำดับเรขาคณิตจะเรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต และอัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิตจะเป็นอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิตด้วย

กำหนด a1, a1r, a1r2, …, a1r n-1 เป็นลำดับเรขาคณิต

จะได้ a1 + a1r + a1r2 + … + a1r n-1 เป็นอนุกรมเรขาคณิต

ซึ่งมี a1 เป็นพจน์แรก และ r เป็นอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิต โดยจากบทนิยามจะได้ว่า

ถ้า a1, a2, a3, …, an เป็นลำดับเรขาคณิตที่มี n พจน์ จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป a1 + a2 + a3 + … + an ว่า อนุกรมเรขาคณิต และอัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิต จะเป็นอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิตด้วย

ตัวอย่างข้อสอบเรื่อง ลำดับและอนุกรม

1. พจน์ทั่วไปของลำดับจำกัด 1/5 , 4/7 , 7/9 , 10/ 11,13/13 คือข้อใด

ก. an =(3n-2)/(2n+3) เมื่อ n ={1, 2, 3, 4, 5}
ข. an =(3n-2)/(3n+2) เมื่อ n={1, 2, 3, 4, 5}
ค. an = (4n-3)/(2n+3)เมื่อ n ={1, 2, 3, 4, 5}
ง. an = (3n-2)/(2n-3)เมื่อ n ={1, 2, 3, 4, 5}

2. พจน์ที่เท่าไรของลำดับ 1, 2, 4, 8, … เท่ากับ 128

ก. 8
ข. 9
ค. 10
ง. 11

3. ถ้าจำนวน 5 จำนวนอยู่ในลำดับเลขคณิต มีพจน์แรกคือ 5 และพจน์ที่ห้าคือ 13 จงหาสามพจน์ตรงกลาง

ก. 7,9,11
ข. 8,10,12
ค. 7,9,12
ง. 8,11,13

4. ถ้า 5 + 8 + 11 + 14 + … n พจน์ เท่ากับ 2,665 แล้ว n มีค่าเท่าไร

ก. 10
ข. 11
ค. 12
ง. 14

5. ถ้า 12 + 9 + 6 + 3 + … + x = -600 แล้วค่า x ตรงกับข้อใด

ก. -60
ข. -65
ค. -70
ง. -75

คณิต ม. ปลาย ต้องเรียนเรื่องอะไรบ้าง

การเรียนคณิตศาสตร์ในระดับม.ปลาย ตั้งแต่คณิต ม.4 คณิต ม.5 หรือ คณิต ม.6 นอกจากเรื่องลำดับและอนุกรมที่จะต้องเจอแล้ว การเรียนวิชา คณิต ม.ปลาย ยังครอบคลุมไปถึงเรื่องอื่นๆ ด้วย ไม่ว่าจะเป็นเรื่องกำหนดการเชิงเส้น, แคลคูลัส, ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน, สถิติ, ความน่าจะเป็น, จำนวนเชิงซ้อน, เวกเตอร์, ตรีโกณมิติ, ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม, เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย,   เมทริกซ์, ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น, จำนวนจริง, การให้เหตุผล, ตรรกศาสตร์, เซต และอื่น ๆ ดังนั้นใครที่กำลังเตรียมตัวจะเลือกเรียนสายวิทย์ สายที่เน้นคำนวณ หรือกำลังเรียนสายเหล่านี้อยู่ ก็จะต้องเจอกับการเรียนเรื่องต่าง ๆ เหล่านี้อย่างแน่นอน

คอร์สเรียน Private ตัวต่อตัว

เป็นคอร์สเรียนที่ผู้เรียนสามารถออกแบบการเรียนให้เหมาะกับตัวเองได้เป็นอย่างดี ไม่ว่าจะเรียนเพื่อติวสอบปลายภาค, ติวเพิ่มเกรด, กวดวิชาเข้ามหาวิทยาลัย ก็สามารถเลือกได้ตามแบบที่เราต้องการได้ด้วยหลักสูตรจำนวน 10 ชม. แต่หากใครที่พื้นฐานอ่อนหรืออยากมาเรียนเนื้อหาล่วงหน้าก็สามารถเพิ่มชั่วโมงเรียนให้เหมาะสมกับเราได้

ลำดับและอนุกรม