ให้กับน้องๆ ม.3 ได้อ่านก่อนสอบมิดเทอม หรือจะเป็นน้องๆ ม.2 ที่เตรียมตัวล่วงหน้าก็อ่านได้เหมือนกันน้าา และใครที่กลัวว่าพื้นฐานยังไม่แน่น แล้วจะอ่านบทความนี้ไม่เข้าใจ ก็ไม่ต้องกังวลน้าา เพราะพี่ๆ ทีมงาน SMP อธิบายเนื้อหาความคล้ายตั้งแต่ต้นเลย และมีโจทย์ปัญหาไว้ให้ทุกคนฝึกทำกันด้วย !!
ความคล้ายคืออะไร ?
ถ้าน้องๆ ลองดูสิ่งของรอบตัว ก็จะเจอว่ามีสิ่งของเครื่องใช้หลายอย่างที่มีรูปร่างคล้ายกัน แต่ต่างกันที่ขนาด เช่น ทีวี กล่องเก็บอาหาร แก้วน้ำ ตุ๊กตาแม่ลูกดกหรือมาโตรชก้า เป็นต้น เราจะเรียกสิ่งของที่มีรูปร่างคล้ายกันเหล่านี้ว่าเป็นสิ่งของที่คล้ายกัน
ซึ่งในบทเรียนนี้ไม่ได้กล่าวถึงเพียงรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันเท่านั้น สังเกตได้จากชื่อบทเลย เพราะชื่อบทไม่ได้พูดแค่ว่าเป็นบทเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน แต่พูดมาเป็นคำกว้างๆ คือ “ความคล้าย” ดังนั้นในบทนี้กล่าวถึงรูปเรขาคณิตที่มีรูปร่างคล้ายกันด้วยเช่นกันนะ ให้น้องๆ ลองพิจารณารูปของรูปเรขาคณิตต่อไปนี้
เราจึงสรุปได้ว่า รูปเรขาคณิตสองรูปเป็นรูปที่คล้ายกัน เมื่อรูปเรขาคณิตทั้งสองนั้นมีรูปร่างเหมือนกัน โดยรูปเรขาคณิตที่คล้ายกันอาจมีขนาดเท่ากันหรือแตกต่างกันก็ได้
สัญลักษณ์
รูปเรขาคณิต A และรูปเรขาคณิต B เป็นรูปที่คล้ายกัน จะเขียนแทนว่า รูปเรขาคณิต A \sim รูปเรขาคณิต B
บทนิยาม รูปหลายเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน ก็ต่อเมื่อ รูปหลายเหลี่ยมสองรูปนั้นมี 1. ขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ๆ ทุกคู่ และ 2. อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน
ถ้าน้องๆ ต้องการเขียนว่ารูปห้าเหลี่ยมทั้งสองคล้ายกัน ให้น้องๆ เขียนโดยเรียงลำดับมุมคู่ที่สมนัยกันแล้วเรียงลำดับไปยังมุมที่อยู่ติดกัน (ในทิศทวนหรือตามเข็มนาฬิกาก็ได้) จากรูปเราพอจะเห็นว่า \hat{A}=\hat{P},\ \hat{B}=\hat{Q},\ \hat{C}=\hat{R},\ \hat{D}=\hat{S} และ \hat{E}=\hat{T} เราจะได้ว่ามุมแต่ละคู่ที่มีขนาดเท่ากันเหล่านั้นคือมุมคู่ที่สมนัยกัน ดังนั้น เราจะเขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ว่า รูป ABCDE \sim รูป PQRST เราจะไม่นิยมเขียนเรียงแบบอื่นที่มุมคู่สมนัยกันอยู่ไม่ตรงกันน้า
แนวคิด ใช้บทนิยามทั้ง 2 ข้อมาตรวจสอบว่ารูปสี่เหลี่ยมทั้งสองคล้ายกันหรือไม่ วิธีทำ จากรูป น้องๆ จะเห็นว่ารูปสี่เหลี่ยมทั้งสองรูป เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมฉากทั้งหมดเลย ดังนั้น มุมของรูปสี่เหลี่ยมทั้งสองรูปจะเท่ากันเป็นคู่ๆ ทุกคู่ พิจารณาอัตราส่วนของความยาวด้านคู่ที่สมนัยกัน จะได้ว่า \frac{AB}{WX}=\frac{BC}{XY}=\frac{CD}{YZ}=\frac{DA}{ZW}=\frac{5}{7} ดังนั้น \square ABCD \sim \square WXYZ
รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน
จากที่เรารู้จักรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกันในหัวข้อก่อนหน้า นั่นยังไม่ใช่หัวข้อหลักเลยน้าา หัวข้อหลักของบทความคล้ายอยู่ที่หัวข้อนี้เลย นั่นคือเรื่อง “รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน” ข้อสอบก็จะออกเกี่ยวกับหัวข้อนี้เป็นหลัก แถมยังออกสอบเยอะกว่าหัวข้ออื่นมากๆ อีกด้วยน้า
จากบทนิยามของรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกัน \Delta ABC\sim\Delta PQR ก็ต่อเมื่อ
1. \hat{A}=\hat{P},\ \hat{B}=\hat{Q}\ และ \hat{C}=\hat{R} นั่นคือ ขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ๆ ทุกคู่ และ 2. \frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}=\frac{CA}{RP} นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน
หลักการพิจารณารูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน
น้องๆ บางคนอาจสงสัยว่าแล้วเราต้องพิจารณาทั้งสองข้อตามบทนิยามของรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกันเลยไหม เพื่อที่จะสรุปว่ารูปสามเหลี่ยมที่เรากำลังพิจารณาอยู่มันคล้ายกันหรือไม่ เวลาเราแก้โจทย์เรามักจะไม่พิจารณาตามบทนิยามจนครบทั้งสองข้อแล้วค่อยสรุปคำตอบนะ เพราะโดยทั่วไป ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ๆ สามคู่ แล้วอัตราส่วนของความยาวของด้าน คู่ที่สมนัยกันทั้งสามคู่จะเท่ากันตามไปด้วย
นั่นคือ แค่เราพิจารณารูปสามเหลี่ยมสองรูปว่ามีขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ๆ สามคู่ ก็เป็นเงื่อนไขที่เพียงพอแล้วที่จะทำให้สรุปได้ว่า รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน โดยที่เราไม่จำเป็นต้องตรวจสอบอัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันเหมือนรูปหลายเหลี่ยมอื่นๆ ในทางคณิตศาสตร์ได้ให้บทนิยามของรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ดังนี้
บทนิยาม รูปสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน ก็ต่อเมื่อ รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้น มีขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ๆ สามคู่
พิจารณาโดยใช้บทนิยามข้างต้น จะได้ว่า \Delta RAT \sim\Delta DOG เพราะ มีมุมที่มีขนาดเท่ากันเป็นคู่ๆ สามคู่ คือ \hat{R}=\hat{D} , \ \hat{A} \= \hat{O}\ และ \hat{T} \= \hat{G}
นอกจากบทนิยามข้างต้น ที่กล่าวถึงการที่สามเหลี่ยมจะเป็นสามเหลี่ยมคล้ายได้ถ้าเราพิจารณาแล้วพบว่ามีมุมเท่ากันป็นคู่ๆ ทั้งสามคู่แล้ว ยังมีทฤษฎีบทต่อไปนี้ ที่กล่าวถึงอัตราส่วนของด้านคู่ที่สมนัยกันอีกด้วย นั่นคือ
ทฤษฎีบท ถ้าอัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่ของรูปสามเหลี่ยมสองรูปเป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน
พิจารณาโดยใช้ทฤษฎีบทข้างต้น จะได้ว่า \frac{AC}{EH}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}
\frac{CT}{HN}=\frac{13}{26}=\frac{1}{2}
\frac{TA}{NE}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}
ดังนั้น \Delta CAT \sim\Delta HEN
จากบทนิยามและทฤษฎีบทเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน และจากตัวอย่างที่ 3 และ 4 ที่ผ่านมา จะเห็นว่า เราสามารถใช้เพียงบทนิยาม หรือใช้เพียงทฤษฎีบทเพียงอย่างเดียวเพื่อตรวจสอบรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันได้
ดังนั้นต่อจากนี้ ถ้าน้องๆ จะทำโจทย์ในบทนี้ต่อไป ให้ใช้เพียงเงื่อนไขเดียว จากสองเงื่อนไขเพื่อพิจารณาได้ว่ารูปสามเหลี่ยมที่โจทย์กำหนดให้คล้ายกันหรือไม่ก็เพียงพอแล้วนะ ซึ่งเงื่อนไขที่น้องๆ สามารถเลือกใช้เพื่อตรวจสอบได้ คือ
1. รูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูปมีขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ๆ ทั้งสามคู่ หรือ 2. อัตราส่วนของความยาวด้านของคู่ที่สมนัยกันทุกคู่ เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน
ถึงตรงนี้พี่คิดว่าน้องๆ น่าจะเข้าใจเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันแล้ว เรานำความรู้ที่ได้ในหัวข้อก่อนหน้านี้มาแก้โจทย์ในตัวอย่างต่อไปนี้กัน แต่ขอเตือนน้องๆ น้าา ว่าทุกครั้ง ก่อนที่เราจะใช้เงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งในการแก้ปัญหาโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน เราต้องตรวจสอบก่อนเสมอว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นคล้ายกันใช่ไหมนะ ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นไม่คล้ายกัน ก็จะไม่สามารถใช้เงื่อนไขเกี่ยวกับอัตราส่วนของความยาวด้าน หรือเงื่อนไขเกี่ยวกับมุมคู่ที่สมนัยกันได้เลย
ข้อสังเกต จากตัวอย่างที่ 5 เมื่อรูปสามเหลี่ยมสองรูปใด ๆ มีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่ มุมที่เหลืออยู่จะกางเท่ากันเสมอ
ดังนั้นเมื่อน้องทำโจทย์ในบทนี้ เมื่อน้องๆ เจอรูปสามเหลี่ยมที่ มีมุมขนาดเท่ากันเป็นคู่ๆ เพียงสองคู่ ก็สามารถสรุปได้เลยว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นคล้ายกันนะ
โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม
น้องๆ อาจสังเกตว่าในแทบจะทุกบทของเนื้อหาคณิตม.ต้นจะต้องปิดท้ายด้วยหัวข้อโจทย์ปัญหาเสมอเลยใช่ไหม ในบทนี้ก็เช่นกันนะ เราสามารถนำความรู้เรื่องรูปสามเหลี่ยมคล้ายกันไปใช้ในการแก้ปัญหาในชีวิตประจำวันได้นะ พี่แนะนำว่าให้น้องๆ ลองถอดข้อความที่โจทย์กำหนดให้มาเป็นแผนภาพก่อน แล้วหารูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันให้เจอ ก็จะโจทย์ปัญหาได้แล้วนะ สังเกตได้จากตัวอย่างต่อไปนี้เลย
ตัวอย่างที่ 6
จุ๋มไปเที่ยวสวนสัตว์แห่งหนึ่งและได้พกเอาตลับเมตรไปด้วย จุ๋มต้องการวัดส่วนสูงของยีราฟด้วยการใช้เงา โดยจุ๋มยืนอยู่ตรงเงาของปลายหัวของยีราฟพอดี จุ๋มวัดเงาของยีราฟได้ยาว 8 เมตร จุ๋มวัดเงาของตัวเองได้ยาว 3.4 เมตร ถ้าจุ๋มสูง 170 เซนติเมตร แล้วยีราฟจะสูงเท่าใด