ขอ้ ท่ี 2 ศรสี ุดาต้องการนำรองเท้า 10 คู่ไปวางเรียงบนชัน้ วางรองเท้า โดยทศี่ รีสุดามรี องเท้าแตะ 4 คู่
รองเทา้ ผา้ ใบ 6 คู่ ถ้าศรสี ุดาต้องการใหร้ องเทา้ ผ้าใบวางในตำแหน่งท่ี 1 แล้วศรีสดุ าจะสามารถเรียง
รองเท้าได้ท้ังหมดกวี่ ธิ ี - 17 -
วิธที ำ ขน้ั ตอนที่ 1 เลอื กรองเท้าผา้ ใบไปวางในตำแหน่งที่ 1 ได้ 6 วิธี
ข้ันตอนท่ี 2 เรียงรองเท้าที่เหลอื ได้ 9! วธิ ี
ดงั นน้ั ศรสี ดุ าจะสามารถเรียงรองเทา้ ไดท้ ั้งหมด 6 x 9! = 2,177,280 วิธี
ข้อท่ี 3 ยวุ ดซี อื้ หนังสือมา 6 เลม่ เป็นหนงั สอื นวนยิ าย 2 เลม่ หนงั สอื ภาษาอังกฤษ 2 เล่ม และหนงั สือ
วทิ ยาศาสตร์ 2 เล่ม ยุวดีจะสามารถนำหนังสือไปเรยี งบนชน้ั หนงั สือช้นั หนง่ึ ไดก้ ีว่ ธิ ี ถา้ ตำแหน่งท่ี 3
ตอ้ งเปน็ หนังสือภาษาองั กฤษเท่านน้ั
วธิ ที ำ ข้ันตอนที่ 1 เลอื กหนงั หนงั สือภาษาอังกฤษไปวางในตำแหน่งที่ 3 ทำได้ 2 วธิ ี
ขั้นตอนที่ 2 นำหนงั สอื ท่ีเหลอื ไปเรียงได้ ทำได้ 5! วิธี
ดงั นน้ั ยุวดจี ะสามารถนำหนงั สือไปเรยี งบนชนั้ หนงั สือชนั้ หน่งึ ไดท้ ้ังหมด 2 x 5! = 240 วิธี
- 18 -
จำนวนวิธีในการนำส่ิงของ r ชิ้น จากสง่ิ ของทีแ่ ตกต่างกนั n ชน้ิ มาเรียงสบั เปล่ยี นเชิงเสน้ คือ
Pn , r = n! วธิ ี (n -r)!
ตวั อยา่ งที่ 1 ร้านค้าแห่งหนึง่ มรี องเทา้ ทั้งหมด 5 แบบ ต้องการนำรองเท้า 3 แบบ มาจัดแสดงหน้ารา้ น เป็นแนวเส้นตรงจะจัดไดท้ ั้งหมดกี่แบบ
วธิ ที ำ
จากโจทย์ มีรองเทา้ ทั้งหมด 5 คู่ นั่นคือ n = 5 และต้องการนำไปจัดแสดง 3 คู่ น่นั คือ r = 3 - 19 -
จากสูตร Pn , r = n! (n -r)! 5! แทนค่า P5 , 3 = (5 -3)!
\= 5! 2! 5 x 4 x 3 x 2! \= 2!
\= 5x4x3
\= 60
ดังนน้ั รา้ นค้าสามารถนำรองเท้ามาจดั แสดงไดท้ ้ังหมด 60 แบบ
ตวั อยา่ งท่ี 2 ท่ีปา้ ยรถประจำทางแห่งหนง่ึ มเี กา้ อี้ 5 ตวั วางเรยี งกันเปน็ แถวยาว ถ้าคน 6 คน มารอรถที่ปา้ ยนี้ จงหาจำนวนวธิ ีการนัง่ เกา้ อ้ี โดยท่ีเก้าอแี้ ตล่ ะตัวจะมคี นนงั่ หนง่ึ คน
วิธที ำ
จากโจทย์ มีคนทั้งหมด 6 คน นน่ั คือ n = 6 และตอ้ งการนำมานั่งเกา้ อี้ 5 คน นน่ั คือ r = 5
จากสูตร Pn , r = n! (n -r)!
แทนค่า P6 , 5 = 6! - 20 - (6 - 5)!
\= 6! 1!
\= 6x5x4x3x2x1 1
\= 720 ดังนั้น สามารถนัง่ เกา้ อไ้ี ด้ท้ังหมด 720 วิธี
ตวั อยา่ งท่ี 3 รหสั บตั รATM ประกอบด้วยเลขโดด 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 จำนวน 4 ตัว เชน่ 0123 , 2543 , 4809 จงหาจำนวนรหสั บตั รATM ทั้งหมดทเี่ ปน็ ไปได้ โดยห้ามใชเ้ ลขโดดซ้ำกนั
วธิ ที ำ
จากโจทย์ มีเลขโดดท้งั หมด 10 ตัว น่นั คือ n = 10
และนำมาสรา้ งรหสั บัตร 4 ตัว น่ันคอื r = 4
จากสูตร Pn , r = n! (n -r)!
แทนค่า P10 , 4 = 10! (10 - 4)!
\= 10! - 21 - 6!
\= 10 x 9 x 8 x 7 x 6! 6!
\= 10 x 9 x 8 x 7
\= 5,040 ดังนัน้ สามารถนำเลขโดดมาสรา้ งรหัสบัตร ATM ไดท้ งั้ หมด 5,040 รหัส
คำชแ้ี จง จงวิเคราะห์โจทยแ์ ละตอบคำถามต่อไปนี้ โดยใช้ความรู้เร่ือง หลักการเรียงสับเปล่ียนเชงิ เส้นของสิง่ ของ ทแ่ี ตกต่างกันทง้ั หมด
ขอ้ ท่ี 1 รา้ นค้าแหง่ หน่ึงมกี ระเปา๋ แบบใหม่ 9 แบบ ต้องการนำไปวางหนา้ ร้านเปน็ แนวเสน้ ตรง 4 แบบ จะสามารถ
ทำไดท้ ้งั หมดกี่วิธี
วธิ ีทำ n = …………9…………… r = ……………4……………….
สูตรที่ใช้ในการคำนวณ คอื ……………………Pn , r = (n n-!r)!…………………….. - 22 -
จากสูตร Pn , r = n! (n - r)! 9! 9 x 8 x 7 x 6 x 5! จะไดว้ า่ P9 , 4 = 5! = 5! = 3,024
ดงั นั้น ร้านค้าสามารถนำกระเป๋าไปวางหนา้ รา้ นได้ท้ังหมด 3,024 แบบ
ข้อท่ี 2 รหัสบตั รATM ประกอบด้วยเลขโดด 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 จำนวน 6 ตัว
จงหาจำนวนรหัสบตั รATM ท้งั หมดท่เี ปน็ ไปได้ โดยห้ามใชเ้ ลขโดดซ้ำกนั
วิธที ำ n = …………10…………… r = ……………6……………….
สูตรท่ใี ช้ในการคำนวณ คือ ……………………Pn , r = (n n-!r)!……………………..
จากสูตร Pn , r = n! - 23 - (n - r)!
จะไดว้ า่ P10 , 6 = 10! = 10! (10 - 6)! 3!
\= 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3! 3!
\= 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4
\= 604,800 ดงั น้ันสามารถสรา้ งรหสั บัตร ATM ไดท้ ง้ั หมด 604,800 รหสั
ข้อท่ี 3 รหัสนกั เรียน ประกอบด้วยเลขโดด 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 จำนวน 5 ตัว
จงหาจำนวนรหัสประจำตวั นกั เรยี นทงั้ หมดที่เป็นไปได้ โดยหา้ มใชเ้ ลขโดดซำ้ กัน
วธิ ที ำ n = …………10…………… r = ……………5……………….
สูตรที่ใช้ในการคำนวณ คือ ……………………Pn , r = (n n-!r)!……………………..
จากสูตร Pn , r = n! (n - r)!
จะได้วา่ P10 , 5 = 10! = 10! (10 - 5)! 5!
\= 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5! - 24 - 5!
\= 10 x 9 x 8 x 7 x 6
\= 30,240 ดังนัน้ สามารถสร้างรหัสประจำตัวนักเรยี นไดท้ ้งั หมด 30,240 รหสั
การจดั หมู่ (Combination) คือจำนวนวธิ เี ลอื กกลมุ่ ของสิ่งของโดยไม่พิจารณาลำดับในการเลือกจำนวนวธิ ี
จดั หมู่ของส่ิงของท่ีแตกต่างกนั n ชิน้ โดยเลือกคราวละ r ชน้ิ คือ n! Cn , r = (n - r)!r! วิธี
ตัวอยา่ งที่ 1 ในการเลอื กตวั แทนนกั เรยี น 3 คนจากผู้สมัคร 5 คน จะมีวิธเี ลือกทัง้ หมดก่ีวิธี วธิ ที ำ
- 25 -
จากโจทย์ มีผูส้ มคั รทง้ั หมด 5 คน น่ันคอื n = 5 ตอ้ งการเลือกตัวแทนจำนวน 3 คน นน่ั คอื r = 3
จะไดว้ า่ C5 , 3 = 5! (5 - 3)!3!
\= 5! 2!3!
\= 5 x 4 x 3! 2 x 1 x 3!
\= 5x2
\= 10
ดังนัน้ สามารถเลือกตัวแทนนกั เรยี นไดท้ ั้งหมด 10 วิธี
ตวั อยา่ งที่ 2 มีนกั เรยี นอยู่ 6 คน ตอ้ งการเลอื กนักเรยี น 3 คนไปแข่งขันทกั ษะทางคณิตศาสตรจ์ ะทำได้ ท้งั หมดก่วี ิธี
วธิ ที ำ
จากโจทย์ มีนักเรียนทง้ั หมด 6 คน น่นั คือ n = 6 และต้องการนกั เรยี น 3 คน น่นั คือ r = 3
จะไดว้ ่า C6 , 3 = 6! = 6! (6 - 3)!3! 6!3!
\= 6 x 5 x 4 x 3! = 5x4 = 20 - 26 - 3 x 2 x 1 x 3!
ดังนั้น สามารถเลือกนกั เรยี นไปแขง่ ขันทักษะทางคณิตศาสตรไ์ ดท้ ง้ั หมด 20 วธิ ี
ตัวอยา่ งท่ี 3 ถา้ ตอ้ งการเลือกคณะกรรมการชดุ หนึง่ จำนวน 3 คน จากคน 4 คน จะเลือกไดท้ ้ังหมดก่ีวธิ ี วธิ ที ำ
จากโจทย์ มีคนท้งั หมด 4 คน นัน่ คือ n = 4 และต้องการเลอื กคณะกรรมการ 3 คน นั่นคือ r = 3
จะได้วา่ C4 , 3 = 4! = 4! (4 - 3)!3! 1!3!
\= 4 x 3! =4 1 x 3!
ดงั นน้ั สามารถเลือกคณะกรรมการไดท้ ้งั หมด 4 วิธี
ตวั อยา่ งท่ี 4 ข้อสอบชดุ หนงึ่ มี 8 ขอ้ โดยในการสอบใหน้ กั เรยี นเลอื กทำขอ้ สอบ 5 ขอ้ จงหาจำนวนวิธีทนี่ กั เรียน สามารถเลอื กทำขอ้ สอบในครงั้ น้ี
วธิ ที ำ
จากโจทย์ มขี ้อสอบทั้งหมด 8 คน นนั่ คอื n = 8 และนักเรียนเลือกทำ 5 ขอ้ นัน่ คือ r = 5
จะไดว้ า่ C8 , 5 = 8! (8 - 5)!5!
\= 8! 3!5!
\= 8 x 7 x 6 x 5! - 27 - 3 x 2 x 1 x 5!
\= 8x7
\= 56
ดังนั้น นักเรยี นสามารถเลือกทำข้อสอบไดท้ งั้ หมด 56 วิธี
คำชแี้ จง จงวเิ คราะห์โจทยแ์ ละตอบคำถามต่อไปน้ี โดยใช้ความรู้เร่ือง หลกั การจัดหมู่ของสงิ่ ของทีแ่ ตกตา่ งกนั ทง้ั หมด
ข้อที่ 1 มนี กั เรยี นอยู่ 6 คน ตอ้ งการเลือกนกั เรียน 4 คนไปแขง่ ขนั ทักษะทางดา้ นภาษาองั กฤษ จะทำไดท้ ้งั หมด
ก่ีวิธี
วธิ ีทำ n = …………6…………… r = ……………4………………. สูตรทใ่ี ชใ้ นการคำนวณ คอื ……………………Cn , r = (n -n!r)!r!…………………….. n! จากสูตร Cn , r = (n - r)!r!
จะได้วา่ C6 , 4 = 6! - 28 - (6 - 4)!4!
\= 6! 2!4!
\= 6 x 5 x 4! 2 x 1 x 4!
\= 15
ดงั น้นั สามารถเลือกนกั เรียนไปแขง่ ขนั ทักษะทางด้านภาษาอังกฤษไดท้ ัง้ หมด 15 วิธี
ข้อท่ี 2 ข้อสอบชุดหนึ่งมี 10 ขอ้ โดยในการสอบใหน้ กั เรยี นเลอื กทำขอ้ สอบ 6 ข้อ จงหาจำนวนวิธีที่นักเรียน
สามารถเลอื กทำข้อสอบในคร้งั น้ี
วิธีทำ n = …………10…………… r = ………………6…………….
สูตรท่ีใชใ้ นการคำนวณ คอื ……………………Cn , r = (n -n!r)!r!……………………..
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
จะไดว้ ่า C10 , 6 = 10! (10 - 6)!6!
\= 10! - 29 - 4!6!
\= 10 x 9 x 8 x 7 x 6! 4 x 3 x 2 x 1 x 6!
\= 5x3x2x7
\= 210
ดงั นนั้ นักเรยี นสามารถเลอื กทำข้อสอบไดท้ ั้งหมด 210 วิธี
ขอ้ ท่ี 3 ในงานเลย้ี งแห่งหน่ึงมคี น 6 คน ถ้าคนสองคนใด ๆ จับมอื กนั หน่ึงครั้ง จงหาว่าจะมีการจับมอื ท้ังหมดก่คี ร้งั
วิธีทำ n = …………6…………… r = ……………2………………. สูตรท่ใี ชใ้ นการคำนวณ คอื ……………………Cn , r = (n -n!r)!r!……………………..
จะไดว้ า่ C6 , 2 = 6! (6 - 2)!2!
\= 6! 4!2!
\= 6 x 5 x 4! 2 x 1 x 4! - 30 - \= 3x5
\= 15
ดงั นัน้ จะมีการจับมอื กันท้งั หมด 15 คร้ัง
การจดั หมู่ (Combination) คือจำนวนวธิ ีเลือกกลุ่มของสิ่งของโดยไมพ่ จิ ารณาลำดับในการเลือกจำนวนวธิ ี
จัดหมูข่ องสิ่งของที่แตกต่างกัน n ชิ้น โดยเลือกคราวละ r ชน้ิ คอื n! Cn , r = (n - r)!r! วธิ ี
ตวั อยา่ งที่ 1 ในตะกรา้ ใบหนงึ่ มแี อปเปลิ 8 ผล และมังคดุ 4 ผล จงหาจำนวนวธิ ีในการเลอื กหยบิ ผลไม้ 4 ผล โดยหยบิ ได้ แอปเปิลทงั้ 4 ผล
วิธที ำ
จากโจทย์ มีแอปเปลิ ทง้ั หมด 8 ผล น่ันคอื n = 8 และต้องเลอื กมา 4 ผล นนั่ คือ r = 4 - 31 -
จะได้ว่า C8 , 4 = 8! (8 - 4)!4!
\= 8! 4!4!
\= 8 x 7 x 6 x 5 x 4! 4 x 3 x 2 x 1 x 4!
\= 2x7x5
\= 70
ดังนั้น สามารถหยิบผลไมใ้ นตะกรา้ โดยทีห่ ยิบไดแ้ อปเปลิ ท้งั 4 ผล 70 วิธี
ตัวอยา่ งท่ี 2 ในตะกรา้ ใบหนง่ึ มีแอปเปลิ 4 ผล และมังคดุ 4 ผล จงหาจำนวนวธิ ีในการเลือกหยบิ ผลไม้ 4 ผล โดยหยิบได้แอปเปิลทง้ั 1 ผล และ มงั คดุ 3 ผล
วธิ ที ำ
ขนั้ ตอนที่ 1 เลอื กหยิบแอปเปิล 1 ผล จาก 4 ผล จะได้วา่ n = 4 , r = 1
C4 , 1 = 4! (4 - 1)!1!
\= 4! 3!1!
\= 4 x 3! 1 x 3!
\=4
- 32 -
ขนั้ ตอนที่ 2 เลอื กหยิบมงั คดุ 3 ผล จาก 4 ผล จะได้วา่ n = 4 , r = 3
C4 , 3 = 4! (4 - 3)!3!
\= 4! 1!3!
\= 4 x 3! 1 x 3!
\=4 ดงั น้ัน สามารถเลอื กหยิบผลไม้ 4 ผล โดยหยบิ ได้แอปเปลิ ทงั้ 1 ผล และ มงั คุด 3 ผล ได้ 16 วิธี
ตวั อยา่ งท่ี 3 ถ้าต้องการเลอื กคณะกรรมการนักเรยี น 5 คน ซง่ึ ประกอบด้วยนกั เรียนชาย 3 คน และนักเรยี น หญิง 2 คน จากผู้สมคั รนักเรียนชาย 5 คน และนักเรยี นหญิง 4 คน จงหาจำนวนวิธีในการเลอื ก คณะกรรมการนกั เรยี นชุดน้ี
วิธที ำ
ขน้ั ตอนท่ี 1 เลือกคณะกรรมการผู้ชายจำนวน 3 คน จาก 5 คน จะไดว้ ่า n = 5 , r = 3
C5 , 3 = 5! = 5! (5 - 3)!3! 2!3!
\= 5 x 4 x 3! = 5x2 2 x 1 x 3!
\= 10 - 33 -
ขนั้ ตอนท่ี 2 เลอื กคณะกรรมการผู้หญงิ จำนวน 2 คน จาก 4 คน จะได้ว่า n = 4 , r = 2
C4 , 2 = 4! = 4! (4 - 2)!2! 2!2!
\= 4 x 3 x 2! = 2x3 2 x 1 x 2!
\=6
ดังนั้น สามารถเลอื กคณะกรรมการนกั เรยี นไดท้ ง้ั หมด 10 x 6 = 60 วิธี
คำชแ้ี จง จงวเิ คราะห์โจทยแ์ ละตอบคำถามต่อไปน้ี โดยใช้ความรู้เรื่อง หลกั การจดั หมูข่ องส่ิงของที่แตกตา่ งกนั ทง้ั หมด